Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

вом океане или даже сколько ежиков живет в подмосковных лесах. И уж совсем трудно точно сказать, сколько молекул в стакане воды или звезд в нашей Галактике. Однако во всех этих случаях мы уверены, что число это конеч­ное, хотя, может быть, и очень большое и недо­ступное для точного вычисления при данном состоянии наших научных познаний.

В математике рассматриваются не только конечные, но и бесконечные совокупности. Простейшим примером такой совокупности является совокупность, или, как принято го­ворить, множество, всех натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, ... .

Мы уже сказали, что каждое натуральное число есть число предметов, образующих ту или иную совокупность, то или иное множество. Но множество всех натуральных чисел уже не есть конечное множество. На вопрос: «Сколь­ко всего натуральных чисел?» — приходится от­ветить, что их бесконечно много. Какое бы большое число натуральных чисел мы ни заду­мали, всегда есть такие натуральные числа, которые не вошли в число задуманных.

В математике мы постоянно сталкиваемся с примерами бесконечных множеств. Возьмем, например, равносторонний треугольник T1 впи­шем в него равносторонний треугольник Т2. Вершины треугольника Т2 суть середины сто­рон треугольника Т1. Таким же образом впи­шем в Т2 равносторонний треугольник Т3, в Т3 впишем T4 и т. д. (рис. 1). Это построение

Рис. 1.

приводит к бесконечному множеству равносторонних треугольников:

T1, T2, T3, T4,T5,... Tn,... . (1)

Тем более бесконечным является множество всех вообще равносторонних треугольников, лежащих в данной плоскости.

Последняя фраза несколько двусмысленна: слово «более» может быть воспринято в ней как составная часть выражения «тем более», упот­ребленного в смысле «и подавно». Раз есть уже бесконечное множество равносторонних тре­угольников, получающихся при некотором оп­ределенном построении, то и подавно множе­ство всех равносторонних треугольников бесконечно. Но слово «более» может быть понято и как сравнительная степень прилагательного, и тогда высказанное выше суждение означает, что множество всех равносторонних треуголь­ников, лежащих в данной плоскости, в каком-то смысле является «более бесконечным», чем бесконечное множестве» построенных нами треугольников

Т1, Т2, Т3…, Тn,…

Как видите, мы затронули интересный воп­рос, долгое время отпугивавший ученых: своей (впрочем, лишь кажущейся) парадоксально­стью: существуют ли, если можно так выра­зиться, различные «степени» бесконечности? Возможна ли количественная оценка бесконеч­ных множеств, позволяющая утверждать, что одно из двух бесконечных множеств является «более бесконечным», чем другое? Или же ут­верждение, что данное множество является бес­конечным, окончательно в том смысле, что не дает возможности дальнейших различений или градаций количественного характера.

Первым, кто пытался ответить на этот во­прос, был знаменитый чешский математик и философ Б. Больцано (1-я половина XIX в.), но он не сумел полностью преодолеть все труд­ности, которые при этом возникли. Постара­емся разобраться, в чем эти трудности и каково решение поставленного вопроса.

Взаимно-однозначное соответствие между двумя множествами

Предположим, что мы имеем два конечных множества, например корзину яблок и корзину груш. Желая установить, чего у нас больше — яблок или груш, мы можем (и это будет самое простое решение вопроса) сосчитать число плодов в каждой корзине. Получим два чи­сла, — сравнение их и даст ответ на наш вопрос.

Но если мы имеем два бесконечных множе­ства, то определить аналогичным образом, какое из них является «более бесконечным», а какое — «менее», нельзя по той простой при-

375