Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

французский астроном У. Леверье и англий­ский астроном Дж. Адамс одновременно и неза­висимо один от другого сделали смелое пред­положение, что отклонение Урана вызывается притяжением новой, до тех пор неизвестной планеты. С помощью дифференциальных урав­нений они высчитали положение этой новой планеты и указали, где нужно ее искать на небе. Точно в указанном месте эта планета (ее назвали Нептуном) была затем обнаружена.

Уравнение гармонических колебаний

Во многих случаях тела совершают коле­бания около положения равновесия под дей­ствием силы, величина которой пропорцио­нальна отклонению тела от положения равно­весия и которая стремится возвратить это тело в положение равновесия. Например, это имеет место для груза, подвешенного на пружине. Иначе говоря, сила, действующая на тело, вы­ражается формулой:

F=-ks,

где s — отклонение тела от положения равно­весия, а k — жесткость пружины. Поэтому (в силу второго закона Ньютона) дифференциаль­ное уравнение движения тела имеет такой вид:

ms" =-ks.

Обозначив положительное число k/m через w2,

мы сможем записать это уравнение в виде:

s''=-w2s.

Это уравнение называется уравнени­ем гармонических колебаний, так как функция

s=C1coswt+С2sinwt (20)

при любых С1 и C2 является решением этого уравнения.

В самом деле, по формулам (13) и (14) ско­рость тела, движущегося по закону (20), равна:

v = s'=-C1wsinwt+С2wcoswt. Продифференцировав еще раз, найдем уско­рение:

s"=-C1w2coswt-С2w2 sinwt=-w2 (C1coswt+С2sinwt). Но выражение, стоящее в скобках, равно s. Таким образом, взятая функция s действи­тельно удовлетворяет уравнению s"=-w2s. Можно доказать, что всякое решение этого уравнения имеет такой вид.

Итак, сила, пропорциональная отклонению тела от положения равновесия и стремящаяся вернуть его в это положение, вызывает гармо­нические колебания частоты w, где w2=k/m

(m — масса тела, k — коэффициент пропор­циональности).

Магический шестиугольник

В этом шестиугольнике образо­валось 19 узловых точек. Вот и рас­ставьте в этих точках 19 натуральных чисел от 1 до 19 так, чтобы вдоль каждой стороны и вдоль каждого внутреннего прямолинейного отрезка сумма чисел равнялась 38 (должно получиться 15 одинаковых сумм по 38). Ответ на стр. 373.

Игра с кубами чисел

У каждого участника игры должна быть таблица кубов. Назначаем ка­кое-нибудь целое число и ставим задачу: представить это число как алгебраическую сумму пяти кубов.

Пусть назначено, например, чис­ло 1. Рассматриваем таблицу кубов и подбираем:

1=43-33-33-23-13 или 1=63-53-43-33+13

Цель игры: за отведенный про­межуток времени подобрать как можно больше решений задачи.

У вас, очевидно, возникнет такой вопрос: разве любое целое число может быть представлено в виде алгебра­ической суммы пяти кубов натураль­ных чисел, да еще несколькими спо­собами?

Да, любое и даже бесконечным числом способов. Это доказал поль­ский математик В. Серпинский.

372