Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Показательная функция в природе и технике

Существует огромное количество процессов в природе, которые описываются такими же дифференциальными уравнениями, как урав­нение (17) для радиоактивного распада. Общим для всех этих процессов является то, что ско­рость изменения рассматриваемой величины у прямо пропорциональна значению этой вели­чины в данный момент времени, т. е.

y'=су. (19)

Коэффициент пропорциональности с положи­телен или отрицателен в зависимости от того, увеличиваются или уменьшаются с течением времени значения величины у. Дифференци­альное уравнение (19) имеет точно такой же вид, как и уравнение радиоактивного распада (только коэффициент пропорциональности здесь обозначается через с, а не через —k). Так как одинаковые уравнения имеют одинаковые решения, то для всех таких процессов значе­ния у0 в любой момент времени t выражаются формулой:

y(t)=y0ect,

где у0 — значение величины у при t = 0. Теперь становится понятным, почему в при­роде и технике встречается так много величин, изменяющихся по показательному закону (ток самоиндукции, протекающий в катушке после выключения постоянного напряжения; изме­нение давления с высотой подъема и т. д.; см. статью «Функции в природе и технике»). Все эти величины удовлетворяют дифференциаль­ным уравнениям вида (19).

Леверье и Адамс открывают новую планету

По второму закону Ньютона сила равна произведению массы на ускорение:

F=ma.

Но ускорение тела, движущегося прямоли­нейно, представляет собой скорость изменения скорости, т. е. является производной от ско­рости a=v'. Сама же скорость является про­изводной от пройденного пути: v=s'. Таким образом, чтобы найти ускорение движущегося тела, надо два раза продифференцировать функцию s(t). Поэтому ускорение называют второй производной от пути по времени. Обозначают это так: a(t)=s"(t). Пользуясь этим обозначением, мы можем за-

писать второй закон Ньютона в следующем виде:

F=ms".

Сила F зависит от многих обстоятельств: от времени, от скорости движения, от того, в какой точке пространства находится движу­щееся тело. Например, на парашютиста, спу­скающегося с раскрытым парашютом, дейст­вуют сила тяжести mg и сила сопротивления воздуха, которую можно считать пропорцио­нальной скорости падения, т. е. равной -kv. Таким образом, общая сила, действующая на парашютиста, равна:

F=mg-kv=mg-ks'.

Следовательно, движение парашютиста описы­вается дифференциальным уравнением ms"=mg-ks'.

Иной вид имеет уравнение движения раке­ты, вертикально поднимающейся по инерции после полного сгорания горючего. Сила при­тяжения ракеты к Земле обратно пропорцио­нальна квадрату расстояния ракеты от центра Земли, т. е.

F=-k/s2

(мы считаем, что ракета вышла из земной атмосферы и потому на нее не действует сила сопро­тивления воздуха).

Таким образом, указанное движение ракеты описывается дифференциальным уравнением

ms''=-k/s2,

где m — масса ракеты. (Этим уравнением описывается также вертикальное падение метео­рита на Землю до вхождения его в атмосферу.)

Вообще, второй закон Ньютона позволяет описывать самые разнообразные движения тел с помощью дифференциальных уравнений. Можно написать дифференциальные уравнения для движения поршня паровой машины, ко­рабля в море, планеты вокруг Солнца, искус­ственного спутника вокруг Земли.

Решая дифференциальные уравнения дви­жения планет и их спутников (эти уравнения весьма сложны, так как планеты притягива­ются не только к Солнцу, но и друг к другу), ученые предсказывают их будущее движение, узнают моменты солнечных и лунных затме­ний. Когда однажды оказалось, что планета Уран отклоняется от заранее вычисленной ор­биты, ученые нисколько не усомнились в «пра­вильности» математики. В середине XIX в.

371