Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Этим доказано, что производная от функции ех в точке х=х0 равна ех0. Так как х0 — произвольная точка, то мы можем просто на­писать:

х)'=ех.

Лишь немногим более сложные рассужде­ния показывают, что

Cх)'= СеСх. (15)

Радиоактивный распад

Многие физические законы связывают меж­ду собой некоторую величину и скорость ее изменения. Рассмотрим, например, радио­активный распад. Скорость распада тем боль­ше, чем больше взято радиоактивного веще­ства. Это и понятно: если, скажем, в каждом грамме взятого радиоактивного вещества за 1 сек. распадается 0,0001 г, то в двух граммах этого вещества за 1 сек. распадается 0,0002 г, в семи граммах распадается за 1 сек. 0,0007 г и т. д. Иначе говоря, скорость распада (мы ее обозначали выше буквой и; см. формулу (10) прямо пропорциональна массе т имеющегося радиоактивного вещества:

и=-km. (16)

Здесь k — положительный коэффициент про­порциональности, а знак «-» поставлен потому, что вещество распадается и его становится меньше, т. е. скорость распада отрицательная. (Этот закон, связывающий массу радиоактив­ного вещества и скорость распада, справедлив лишь в случае, если количество радиоактив­ного вещества не слишком велико и не проис­ходит цепной реакции.)

На первый взгляд кажется, что из уравне­ния (16) ничего нельзя определить: ведь это одно уравнение с двумя неизвестными u и m (коэффициент пропорциональности k для каж­дого вида радиоактивного вещества опреде­ляется из опыта), а для нахождения двух неиз­вестных надо иметь два уравнения. Однако второе уравнение легко найти: ведь и — это скорость изменения массы т, а потому и u=m'. Поэтому мы можем переписать закон радиоактивного распада (т. е. формулу (16) в виде:

m' =-km. (17)

Мы получили одно уравнение для опреде­ления одного неизвестного т. Только это урав­нение не такое, какие изучаются в школе: оно связывает величину т и ее скорость изменения (производную). Уравнения, связывающие величины и их производные, называются дифференциальными уравнениями. Легко проверить, что функция т = Се-kt, где С любое число, является решением диф­ференциального уравнения (17) (т. е. если под­ставить в это уравнение вместо т эту функцию, то оно обратится в тождество). В самом деле:

m'=(Се-kt)' =-Cke-kt=-km.

Можно показать, что других функций (кроме m(t)=Ce-kt), удовлетворяющих уравнение (17), не существует, т. е. что всякое решение уравнения (17) имеет вид: m(t)=Ce-kt. Это и есть закон уменьшения массы радио­активного вещества с течением времени.

У нас остался невыясненным один вопрос: чему равна постоянная C? На этот вопрос не­трудно ответить. Из формулы т(t)=Се-kt находим (полагая t=0), что масса радиоак­тивного вещества в начальный момент времени t=0 была равна Се0 = С. Таким образом, С — это масса радиоактивного вещества в на­чальный момент времени; ее принято обозна­чать через m0. Поэтому, заменяя С на m0, по­лучаем окончательный вид закона радиоактив­ного распада:

т(t)=m0е-kt. (18)

Найдем теперь, через сколько лет количе­ство радиоактивного вещества уменьшит­ся вдвое. Для этого нужно определить число

Т0 из уравнения e-kT0 =1/2. После логари­фмирования (по основанию е) находим, что Т0 =1/kln2»0,69/k (через lnx мы обозначаем

логарифм числа х по основанию е). Этот проме­жуток времени Т0 называют периодом полурас­пада данного радиоактивного вещества. Он не зависит от того, сколько было взято радиоактив­ного вещества, а зависит только от k, т. е. от то­го, какое взято вещество. Например, период по­лураспада радия равен 1590 годам, урана-238 — 4,5 млрд. лет, тория С всего 0,0000003 сек. С помощью числа Т0 закон радиоактивного распада можно записать так:

m(t)=m0(e-kT0)t/T0=m0(1/2)t/T0.

В этой форме его обычно и используют в физике.

370