Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

тикальную. Вектор скорости точки А (имеющий длину сой) направлен по касательной к окруж­ности, проведенной в точке А, и потому обра­зует с осью Ох угол wt+p/2, а с осью Оу — угол

и

wt(рис. 32). Следовательно, его проекция на ось

Ох (т. е. скорость движения точки В) равна: vx=wRcos(wt+p/2)=-wRsinwt,

а его проекция на ось Оу (т. е. скорость дви­жения точки С) равна:

vy=wRcoswt.

Мы доказали, что скорость колебания, про­исходящего по закону х=Rcoswt, равна: vx=-wRsinwt. Так как скорость является производной от пути по времени, это означает, что

(Rcoswt)'=-wRsinwt,

или при R=1

(coswt)'=-wsinwt. (13)

Точно так же доказывается (из рассмотре­ния движения точки С), что

(sinwt)'=wcoswt. (14)

В частности, при w=1 мы получаем, что (cost)'=-sint; (sint)'=cost.

Производная показательной функции

Теперь продифференцируем показательную функцию у=ех. Мы уже знаем (см. статью «Функции в природе и технике»), что касательная к кривой у=ех, проведенная в точке пересечения ее с осью ординат, наклонена к осям под углом в 45°. Вспоминая геометриче­ский смысл производной (см. стр. 364), мы можем сказать, что производная функции у=ех в точке х=0 равна tg45°, т. е. 1.

Итак, (еx)'|при x=0 =1.

Чтобы сосчитать производную от функции у=ех в какой-либо точке х0, сдвинем график этой функции на отрезок х0. После сдвига в точке х ордината станет равной не ех, а ех-х0, т. е. сдвинутая кривая является графиком функции у=ех-х0 (рис. 33). При сдвиге графика касательная, проведенная к кривой у=ех в точке х=0, перейдет в касательную, проведенную к сдвинутой кри­вой (т.е. кривой у=ех-x0) в точке х=х0 (рис. 34).

Таким образом, касательная к кривой у=ех-х0 в точке х0 наклонена к оси х под углом 45°, т. е.

(еx-x0)' |при x=x0 =1.

Теперь легко найти производную функции у=ех в точке х=х0. В самом деле, так как постоянный множитель ех0 можно вынести за знак производной, получим:

(ex)'|при х=х0 =(eкex-x0)' | при х=х0 = еx0x-x0)' |при x=x0x0•1 =ex0.

369