Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Здесь s — путь, пройденный телом начиная с момента t=0.

Но может случиться и так, что пройден­ный путь отсчитывается не с момента t=0, a с какого-то более раннего момента (например, не с момента начала путешествия, а с момента выпуска автомобиля с завода). Тогда путь s придется записать в виде разности s(T)-s(0) пути, пройденного к моменту t=T, и пути, пройденного к моменту t=0. Равенство (3) примет тогда такой вид:

Таким же образом для любых двух моментов времени t=a и t=b справедливо равенство:

Вообще, для любой функции F(x) имеет место равенство:

Эта формула называется формулой Ньютона — Лейбница — в честь знаменитых математиков И. Ньютона и Г. Лейбница, почти одновременно установивших ее в конце XVII в. (примерно через 70 лет после выхода в свет книги И. Кеп­лера «Новая стереометрия винных бочек»). Сле­дует сказать, что в геометрической форме эту формулу высказал учитель Ньютона И. Барроу в 1670 г. Он указал, что вычисление площа­дей — действие, обратное проведению каса­тельных.

Значение формулы Ньютона — Лейбница состоит в следующем: если мы знаем какую-нибудь функцию F(x), производная которой равна f(x), т. е. F'(х) =f(х), то легко вычислить интеграл

— он равен разности

значений функций F(x) в точках b и а. Каждую функцию F(x), для которой F' (х)=f(х), назы­вают первообразной для функции f(x). Значит, если функция F(x) — первообразная для функции f(x), то f(x) — производная для функции F(x).

Таким образом, вычисление интегралов сво­дится в основном к нахождению первообразных. А нахождение первообразных есть задача, об­ратная дифференцированию. Поэтому, чем

большее число функций мы будем уметь диф­ференцировать, тем больше первообразных будем знать и тем больше интегралов сможем найти. Пока что мы умеем дифферен­цировать только многочлены. Этого уже до­статочно, чтобы интегрировать любые много­члены (не прибегая к примененным выше гео­метрическим приемам).

Но во многих задачах встречаются функ­ции, отличные от многочленов. Мы научимся сейчас дифференцировать показательную и три­гонометрические функции.

Производные синуса и косинуса

Производные от тригонометрических функ­ций проще всего вычислить, исходя из физи­ческих соображений. Рассмотрим точку А, движущуюся по окружности радиуса R со ско­ростью wR. Будем считать, что при t=0 точка А находилась в положении А0 (рис. 31).

Через t сек. точка пройдет путь длиной wRt и окажется в положении А. Дуга А0А имеет длину wRt, т. е. содержит wt радиан, значит, и угол АОА0 равен wt радиан. Поэтому коорди­наты точки А равны х=Rcoswt и y=Rsinwt (это легко выводится из треугольника АВО). Иными словами, проекция В точки А на ось Ох движется по закону x = Rcoswt, а проекция С этой же точки на ось Оу движется по за­кону у=Rsinwt. Найдем скорости этих ко­лебаний.

Для этого разложим скорость движения точки А на две составляющие: горизонтальную и вер-

368