Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.
http://автошколатут.рф/ Автошкола рядом с Измайловская.

Балка наибольшей прочности

Основным элементом любой строительной конструкции является балка. Прочность балки зависит от того, какую форму имеет ее попе­речное сечение. Инженерные расчеты показы­вают, что прочность балки с прямоугольным сечением пропорциональна ширине балки а и квадрату ее высоты h. Иными словами, проч­ность такой балки (измеренная в некоторых единицах) равна kah2, где k — коэффициент, зависящий от длины балки, материала, из ко­торого она сделана, и т. д.

Деревянные балки приходится обычно выте­сывать из круглых бревен. В связи с этим воз­никает задача, как из бревна, имеющего радиус R, сделать балку наибольшей прочности. На рис. 28 изображено поперечное сечение брев­на. Разумеется, проч­ность вырезанной балки будет функцией от ши­рины этой балки. Но ес­ли взять ширину слиш­ком большой (почти рав­ной диаметру бревна), то получится балка очень маленькой высо­ты и прочность ее будет мала (рис. 29, а). Мала будет прочность балки, если сделать ее слишком узкой (рис. 29, б). Чтобы найти, при каком соот­ношении длины и шири­ны прочность будет наибольшей, выразим проч­ность балки как функцию от ее ширины х. Из треугольника АBС, изображенного на рис. 28, видно, что высота балки, имеющей ширину х, равна Ц(4R2-х2). Поэтому прочность такой балки равна:

kx(4R2-x2)=4R2kx-kx3.

График функции у=4R2kx-kx3 имеет вид, указанный на рис. 30, а ее производная рав­на 4R2k-3kx2 и обращается в нуль при

x1,2±(2RЦ3)/3.

Поскольку ширина балки должна быть по­ложительной, получаем, что самая прочная

балка будет, если ширина ее а=(2RЦ3)/3; высота

О

балки определится по формуле:

Отношение h/a равно Ц2»7/5. Именно такое

отношение высоты балки к ширине и предпи­сано правилами производства строительных работ.

Формула Ньютона — Лейбница

Между дифференцированием и интегрированием имеется глубокая связь: формула (3) показывает, что путь находится по мгновенной скорости с помощью интегрирования, а фор­мула (9) утверждает, что скорость находится по пути с помощью дифференцирования. Это наводит на мысль, что действия дифференци­рования и интегрирования связаны друг с дру­гом примерно так же, как действия сложения и вычитания, умножения и деления, возведения в степень и извлечения корня, т. е. что эти опе­рации взаимно обратны.

Например, пользуясь тем, что v(t)=s'(t), можно записать формулу (3) в виде:

367