Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Балка наибольшей прочности

Основным элементом любой строительной конструкции является балка. Прочность балки зависит от того, какую форму имеет ее попе­речное сечение. Инженерные расчеты показы­вают, что прочность балки с прямоугольным сечением пропорциональна ширине балки а и квадрату ее высоты h. Иными словами, проч­ность такой балки (измеренная в некоторых единицах) равна kah2, где k — коэффициент, зависящий от длины балки, материала, из ко­торого она сделана, и т. д.

Деревянные балки приходится обычно выте­сывать из круглых бревен. В связи с этим воз­никает задача, как из бревна, имеющего радиус R, сделать балку наибольшей прочности. На рис. 28 изображено поперечное сечение брев­на. Разумеется, проч­ность вырезанной балки будет функцией от ши­рины этой балки. Но ес­ли взять ширину слиш­ком большой (почти рав­ной диаметру бревна), то получится балка очень маленькой высо­ты и прочность ее будет мала (рис. 29, а). Мала будет прочность балки, если сделать ее слишком узкой (рис. 29, б). Чтобы найти, при каком соот­ношении длины и шири­ны прочность будет наибольшей, выразим проч­ность балки как функцию от ее ширины х. Из треугольника АBС, изображенного на рис. 28, видно, что высота балки, имеющей ширину х, равна Ц(4R2-х2). Поэтому прочность такой балки равна:

kx(4R2-x2)=4R2kx-kx3.

График функции у=4R2kx-kx3 имеет вид, указанный на рис. 30, а ее производная рав­на 4R2k-3kx2 и обращается в нуль при

x1,2±(2RЦ3)/3.

Поскольку ширина балки должна быть по­ложительной, получаем, что самая прочная

балка будет, если ширина ее а=(2RЦ3)/3; высота

О

балки определится по формуле:

Отношение h/a равно Ц2»7/5. Именно такое

отношение высоты балки к ширине и предпи­сано правилами производства строительных работ.

Формула Ньютона — Лейбница

Между дифференцированием и интегрированием имеется глубокая связь: формула (3) показывает, что путь находится по мгновенной скорости с помощью интегрирования, а фор­мула (9) утверждает, что скорость находится по пути с помощью дифференцирования. Это наводит на мысль, что действия дифференци­рования и интегрирования связаны друг с дру­гом примерно так же, как действия сложения и вычитания, умножения и деления, возведения в степень и извлечения корня, т. е. что эти опе­рации взаимно обратны.

Например, пользуясь тем, что v(t)=s'(t), можно записать формулу (3) в виде:

367