Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

тематика, в особенности понятие производной. Чтобы понять, как же математики решают такие задачи, рассмотрим одну из них.

Как сделать самую большую коробку

Пусть перед нами квадратный кусок кар­тона со стороной а. Из него надо сделать коробку без крышки. Вырежем по углам куска квадратики (рис. 24) и согнем по линиям, отмеченным пунктиром. У нас получилась коробка (рис. 25); но много ли в нее можно положить? Это зависит от того, какие квад­ратики мы вырезали из этой коробки. Если

они были очень маленькие, то коробка полу­чится низкая (рис. 26, а) и в нее много не поло­жишь. А если они будут слишком большие (рис. 26, б), то коробка получится слишком узкая и в нее тоже войдет довольно мало. Най­дем, при какой стороне х вырезанного квадра­тика объем V(x) сделанной коробки будет наи­большим. Из рис. 25 видно, что V=х(а-2x)2=4x3-4аx22х. График этой функции имеет вид, указанный на рис. 27. При этом х должен лежать между 0 и a/2, так как вырезать из куска картона со стороной а четыре квадрата со сто­роной, большей, чем a/2, нельзя. Из рис. 27 вид­но, что в той точке, где значение объема наи­большее, касательная идет горизонтально, т. е. образует с осью х угол, равный нулю. Но это значит, что в этой точке производная равна нулю. Таким образом, чтобы найти значение xmax, при котором объем коробки будет самым большим, надо найти все значения ж, при которых производная функции

V (х)=4x3-4аx2+а2х

обращается в нуль; среди них обязательно будет и искомое значение xшах. По формуле диффе­ренцирования многочлена находим: V'(х)=12x2-8ах+а2. Приравниваем производную нулю и находим

два корня: х1=a/2, х2=a/6. Разумеется, корень x1=a/2 нас не устраивает: если мы вырежем

квадраты со стороной a/2, то от листа картона ничего не останется. Значит, наибольшее зна­чение объема получится, если за xmax примем

оставшееся значение a/6, т. е. вырежем квадраты со стороной х=a/6. Объем коробки тогда будет

 

равен 2а3/27 . Сделать из данного куска картона коробку большего объема невозможно.

366