Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

 

 

 

Производные многочленов

Из сказанного выше ясно, что для решения ряда задач физики, геометрии и других наук весьма важно уметь находить производные различных функций (нахождение производных называется дифференцированием). Мы рас­смотрим сейчас пример непосредственного вычисления производной.

Возьмем функцию у=х3. Отношение, кото­рое нужно рассмотреть при вычислении этой производной, имеет такой вид:

Если теперь х2 будет приближаться к x1, то последнее выражение будет, очевидно, при­ближаться к значению х2121+х21=3x21. Та­ким образом, производная от функции у=х3 имеет в точке х=х1 значение Зх21, т. е.

3)' ?при x=x1=3x21. Более кратко это записыва­ют так: (х3)'=3x2.

Предоставляем читателю таким же образом найти производные от функций у=х2 и у=х. Результаты получаются такие:

(х2)' = 2х; (х)'=1.

Эти формулы вычисления производных объ­единяются, очевидно, одной общей формулой:

(хn)'=nхn-1. (12)

Для случая целого положительного значе­ния n эту формулу можно проверить примерно таким же способом, как мы выше вычислили производную от x3. В математике доказы­вается, что формула (12) верна при любом п. Заметим, что производная единицы (или вообще любой постоянной величины) равна нулю. Это легко следует из формулы (12), а впрочем, ясно и без этого, так как скорость изменения посто­янной, очевидно, равна нулю.

Заметим теперь, что производная обладает следующими простыми, но важными свойства­ми: постоянный множитель можно выносить за знак производной; кроме того, производная суммы двух (или нескольких) функций равна сумме производных от слагаемых:

[kf(x)]'=kf'(x),

[f1(x)+f2(x)]'=f'1(x)+f'2(x).

Справедливость этих правил легко проил­люстрировать с помощью формулы (9), при-

мерно так же, как мы сделали выше для инте­гралов.

Теперь уже легко можно находить произ­водные любых многочленов, например:

Вообще, если

многочлен n-й степени, то его производная вычисляется по формуле:

Пчелы-математики

Русский математик П. Л. Чебышев в своей работе «Черчение географических карт» писал, что особенную важность имеют те методы на­уки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать средствами своими для дости­жения по возможности большей выгоды. Так, рабочий-металлист старается из куска метал­ла получить как можно больше деталей; раскройщик на обувной фабрике старается из куска кожи выкроить как можно больше за­готовок; технолог старается так расставить станки на заводе, чтобы обработка деталей заняла как можно меньше времени, и т. д.

Да и не только человеку приходится решать такие задачи. Пчелы бессознательно решают одну из таких задач — они стараются придать сотам такую форму, чтобы при заданном объеме на них шло как можно меньше воска. И хотя они не знают математики, но точно решают эту задачу (рис. 23).

Пчелам помогает решать эту задачу ин­стинкт. Человек же действует не по инстинкту, а по разуму. Маркс го­ворил, что «самый пло­хой архитектор от наи­лучшей пчелы с самого начала отличается тем, что, прежде чем строить ячейку из воска, он уже построил ее в сво­ей голове».

И большую помощь в решении таких задач оказывает человеку ма-

365