Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Если теперь точка N начнет по кривой АВ при­ближаться к точке М, то секущая MN будет, поворачиваясь, приближаться к положению касательной, так что в пределе мы получим тангенс угла, под которым касательная накло­нена к оси х:

tga=lim(y2-y1)/(x2-x1).

Предел берется при условии, что точка N при­ближается к М, т. е. что значение х2 прибли­жается к х1.

Производная

Мы рассмотрели несколько задач из физики и геометрии. Несмотря на внешнее различие этих задач, у них было много общего. В первых двух задачах (скорость движения, скорость распада) это общее заключалось в том, что мы в обоих случаях имели скорость изме­нения некоторой величины: скорость движения есть скорость изменения пути с течением времени, скорость распада есть скорость изменения массы радиоактивного вещества. Но и в третьем примере мы имели некоторую скорость изменения: тангенс угла наклона касательной есть скорость изменения ординаты, когда мы перемещаемся по оси х.

Действительно, отношение (y2-y1)/(x2-x1) представляет собой среднюю скорость возрастания орди­наты при перемещении от точки х1 к точке х2, а предельное значение этого отношения (равное

tga) дает мгновенную скорость изменения ординаты.

Итак, во всех рассмотренных задачах мы имели мгновенную скорость изменения неко­торой величины; этим и объясняется, что при определении этих на первый взгляд очень непо­хожих величин получились очень похожие формулы. Чисто математически скорость изме­нения можно определить следующим образом. Пусть мы имеем функцию y=f(x). Обозначим те значения, которые эта функция принимает в двух точках х1 и х2, через y1 и y2. Тогда разность y2-y1 показывает, на сколько изме­нилось значение рассматриваемой функции при переходе от значения x1 к значению х2,

а отношение (y2-y1)/(x2-x1) представляет собой среднюю скорость изменения функции y=f(x) на промежутке от x1 до х2. Если теперь уменьшать этот промежуток, приближая значение x2 к x1, то мы получим в пределе мгновенную скорость изменения рассмат­риваемой функции в точке х1; она равна

lim(y2-y1)/(x2-x1),

где предел берется при условии, что значение x2 приближается к х1. Эта мгновенная скорость изменения называется производной от функции у=f(x) по аргументу х в точке х1; она обозначается через f'(x1).

В этих обозначениях явно указывается, в какой точке берется мгновенная скорость изменения (т. е. производная). Есть и другие обозначения для производной, но мы их не бу­дем указывать. Конечно, производную можно находить в различных точках, так что произ­водная f'(x) есть опять некоторая функция от х. Теперь ясно, что рассмотренные выше задачи из физики и геометрии могут быть сформули­рованы с помощью производной.

Скорость движения v(t) есть производная от пути s(t) по времени:

v(t)=s'(t). (9)

Скорость u(t) радиоактивного распада есть производная от массы радиоактивного вещества m(t) по времени:

u(t)=m'(t). (10)

Наконец, тангенс наклона касательной к графику функции y=f(x), проведенной в точ­ке с абсциссой х, есть производная от функции f(x):

tga?в точке х=f'(x). (11)

364