Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Формулами это можно записать следующим образом. Предположим, что в момент времени t1 масса еще не распавшегося радиоактивного вещества в пробирке была равна m1, а через некоторое время, в момент t2, масса его умень­шилась (так как часть вещества превратилась в продукт распада) и стала равной m2. Таким образом, за время t2-tl масса имевшегося в пробирке радиоактивного вещества измени­лась на m2-m1 (это число отрицательное — ведь масса нераспавшегося радиоактивного вещества с течением времени уменьшается). Отношение

(m2-m1)/(t2-t1) представляет собой среднюю скорость изме­нения массы радиоактивного вещества в про­бирке за рассматриваемый промежуток вре­мени, т. е. среднюю скорость распада. Чем меньше промежуток времени t2-t1 тем точ­нее это отношение выражает мгновенную ско­рость распада. Мы можем сказать, таким обра­зом, что мгновенная скорость распада u(t1) в момент t1 равна:

u(t1)=lim(m2-m1)/(t2-t1),

где предел берется при условии, что значение t2 приближается к t1.

Совершенно аналогично можно определить мгновенную скорость химической реакции.

Умеете ли вы проводить касательную ?

Услышав такой вопрос, вы, вероятно, вспом­ните построение касательной к окружности и дадите утвердительный ответ. Но речь идет о касательной к любой кривой, а не только к окружности. А в школьных учебниках не только ничего не сказано о проведении каса­тельной к любой кривой, но даже не опреде­ляется, что это такое. Нельзя, разумеется, опре­делять касательную как прямую, имеющую с кривой лишь одну общую точку: ось параболы пересекается с ней только в одной точке (рис. 19), но вряд ли кому-нибудь придет в голо­ву говорить, что эта ось касается параболы.

Что же такое касательная к кривой и как ее провести? Постараемся ответить на эти во­просы. Проведем через точку М, лежащую на кривой, секущую MN (рис. 20). Если теперь точку N приближать по кривой к точке М, то секущая будет поворачиваться вокруг точки

М, все более приближаясь к некоторой прямой. Эта прямая и есть касательная к кривой в точке М. Для окружности это определение касатель­ной совпадает с обычным (рис. 21): по мере при­ближения точки N к точке М угол OMN приближается к прямому углу, и потому касательная к окружности перпендикулярна радиусу.

Итак, касательная это прямая, к которой приближается секущая MN, когда точка N приближается (по рассматриваемой кривой) к точке М.

Теперь нетрудно будет описать положение касательной с помощью некоторой формулы. Для этого будем считать, что кривая АВ яв­ляется графиком некоторой функции y=f(x). Обозначим ординаты точек M и N через y1 и y2, а их абсциссы — через х1 и х2. Рассматривая прямоугольный треугольник MNP с гипоте­нузой MN и катетами, параллельными осям координат (рис. 22), мы можем легко опреде­лить угол j, под которым секущая наклонена к оси х:

tgj=PN/MP.

Но из рис. 22 ясно, что PN = у21, МР=х21. Таким образом,

tgj=(y2-y1)/(x2-x1).

363