Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

лубе идет человек. Обозначим скорость дви­жения тела M1 через v1(t), а скорость пере­мещения тела М2 по поверхности тела М1через v2(t). Тогда путь, пройденный телом М1 за время от t=0 до t=T, равен

а путь, пройденный телом M2 по поверхности тела М1, равен

Общий же путь, пройденный в пространстве телом M2 (как за счет собственного движения, так и за счет движения тела М1, которое его везет), равен

Но ясно, что скорость перемещения тела М2 в пространстве равна v1(t)+v2(t), так что путь, пройденный этим телом, имеет значение:

Приравнивая оба найденных значения пути, получим:

т. е. интеграл от суммы двух (или несколь­ких) функций равен сумме интегралов от сла­гаемых.

Переходим к интегрированию многочленов. Пусть, например, нужно вычислить интеграл

Так как подынтегральное выражение есть сумма х2+(-3x)+5, то можно наш интеграл разбить на три:

Во втором и третьем интегралах можно вынести за знак интеграла числовой множитель, после чего легко получим ответ:

Иначе говоря, интегрировать многочлены можно почленно. Вообще, если

f(х)0хn1xn-1+...+ an-lx+ аn

некоторый многочлен n-й степени, то его ин­теграл находится по формуле:

Применение интегралов

Мы научились вычислять интегралы от мно­гочленов. Этого уже достаточно, чтобы иметь возможность решать многие математические и физические задачи.

Покажем для начала, как просто получа­ются с помощью интегралов некоторые форму­лы, изучаемые в школе.

Выведем формулу пути равноускоренного движения. Если начальная скорость тела в мо­мент t=0 равна v0, а ускорение движения рав­но а, то в момент времени t скорость тела со­ставит v(t)=v0+at. Поэтому по формуле (3)

359