Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

пирамиду на вершину (так, чтобы ось ее была вертикальной) и проведем плоскость парал­лельно основанию пирамиды на расстоянии х от вершины. Тогда в сечении получится квадрат

со стороной, тоже равной х, а площадь его S(х) будет равна x2. Поэтому по формуле (1) объем V пирамиды выразится интегралом:

Сравнивая эту формулу с известной из школьного курса формулой объема пирамиды, получим:

или:

Найденные выше формулы (5), (6), (7), оче­видно, можно объединить в одну общую фор­мулу:

при n=0, 1, 2.

Эта формула, как доказывается в математи­ке, справедлива не только при n= 0, 1, 2, но и при любых положительных значениях показа­теля n, например:

Интегрирование многочленов

Теперь уже нетрудно научиться вычислять интеграл от любого многочлена. Сделаем пред­варительно два простых, но очень важных за­мечания.

Первое замечание. Пусть два тела М1 и М2 движутся в одном и том же на­правлении, причем так, что скорость те­ла М2 в каждый момент времени в k раз больше скорости тела М1. Тогда ясно, что и путь, пройденный телом M2, будет в k раз больше пути, пройденного за то же время телом M1. Запишем этот очевидный факт формулой. Обозначим скорость тела M1 в момент t через v(t), тогда скорость тела М2 в тот же момент равна kv(t). Пути s1 и s2, пройденные телами М1 и M2 за промежуток времени от t=0 до t=T, равны следующим интегралам:

Но так как путь, пройденный вторым телом, в k раз больше пути, пройденного первым телом (т. е. s2=ks1), то

Иначе говоря, числовой (постоянный) множитель можно выносить из-под знака интеграла.

Второе замечание. Пусть тело М1 дви­жется в некотором направлении, а по его поверх­ности движется в том же направлении тело М2. Например, баржа плывет по реке, а по ее па-

358