Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

ранее формулы гораздо короче и не прибли­женно, а точно. Например, формула объема лю­бого тела принимает вид:

где Н — высота этого тела, a S(h) — площадь сечения, проведенного параллельно основанию тела на высоте h от основания (см. рис. 7).

Формулу площади фигуры, изображенной на рис. 10, можно записать в виде:

где f(x) — высота кривой CD в точке с абсцис­сой х.

Путь, пройденный за промежуток времени от 0 до Т, выражается через скорость v(t) по формуле:

Геометрическое вычисление интегралов

Формулы (1) и (2) можно использовать для нахождения площадей и объемов различных тел. Но так как площади и объемы простых тел мы уже знаем, то, наоборот, с помощью этих формул можно вычислить значения некоторых простых интегралов. (Дальше, на стр. 368, мы укажем, как можно сосчитать эти интегралы непосредственным вычислением, не прибегая к геометрии.)

Самой простой геометрической формулой вычисления площади является формула пло­щади прямоугольника: S=hb. Прямоугольник можно рассматривать как криволинейную тра­пецию, высота которой во всех точках одинакова

и равна h (рис. 11), так что его площадь может

быть записана в виде интеграла:

где h — постоянная величина. Итак, мы доказали формулу:

(h — постоянная). В частности, при h=1 получаем:

Вспомним теперь формулу площади прямо­угольного треугольника: S=1/2hb, где h и b —

катеты. Из рис. 12 видно, что треугольник можно рассматривать как криволинейную трапецию,

высота у которой в точке с абсциссой х равна hx/b (это вытекает из подобия треугольников

ОАВ и OCD). Поэтому площадь треугольника может быть записана в виде интеграла:

Таким образом, мы доказали, что

Если треугольник ОАВ равнобедренный, т. е. если h=b, то получаем формулу:

Наконец, рассмотрим еще один пример. Возьмем правильную четырехугольную пира­миду с ребром в основании, равным b, и высо­той, равной этому ребру (рис. 13). Поставим

357