Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

называется криволинейной трапецией), и если высота в точке с абсциссой х равна f(x), то для вычисления площади фигуры мы можем поль­зоваться той же формулой. Чем гуще распо­ложены точки х0, x1,..., хп на отрезке АВ, тем более точное значение для площади фигуры получим по этой формуле.

В автомобиле

Для измерения пути, пройденного автомо­билем, на нем устанавливают специальный счетчик. Но даже если этот счетчик испорчен, можно подсчитать пройденный автомобилем путь по спидометру (прибору, показывающему скорость автомобиля). Для этого надо записать показания спидометра в моменты времени t0 = 0, t1, t2,..., tn=T. Если бы движение автомобиля от момента tk-1 до момента tk совершалось рав­номерно с той скоростью v(tk), которую он в действительности имел в конце этого про­межутка, т. е. в момент tk, то за промежуток времени от tk-l до tk он проехал бы расстояние v(tk)(tk-tk-1). Поэтому путь, пройденный за все время движения от 0 до Т, был бы равен:

v(t1)(tl-t0)+ v(t2)(t2-t1)+...+ v(tn)(tn-tn-1).

Этой формулой можно пользоваться для приближенного подсчета пути, пройденного автомобилем. Но автомобиль не всегда движется равномерно, и даже за маленький промежуток времени скорость его успевает несколько раз измениться. Однако чем чаще будем записывать показания спидометра, т. е. чем меньше будут промежутки времени между отдельными изме­рениями, тем точнее написанная формула будет давать пройденный автомобилем путь.

Интеграл

Мы разобрали ряд задач из различных об­ластей физики, техники, геометрии. Несмотря на внешнее различие этих задач, у них было много общего. Каждый раз для приближенного вычисления некоторой величины (объема, пло­щади, пути и т. д.) мы получали сумму вида:

Здесь f(x) — некоторая функция, заданная на отрезке от а до b, а х0=а, х1..., хп-1, хп=b— точки на этом отрезке. Например, при вычисле­нии пути функция f(x) была скоростью в момент времени х (только время мы раньше обозначали буквой t, а не х, что, конечно, несущественно), а было равно нулю, а b равнялось времени Т движения автомобиля.

Суммы такого вида встречаются в матема­тике и ее приложениях очень часто. Их называ­ют интегральными суммами. Такие суммы дают значение искомой величины только приближенно. Но если мы будем брать точки х0, х1,..., хn все гуще и гуще на отрезке от а до b, то интегральные суммы будут прибли­жаться к некоторому числу, а именно к точному значению искомой величины. Это число назы­вается интегралом от функции f(x) на от-

резке от а до b и обозначается через

Таким образом,

где предел lim берется при условии, что число промежутков неограниченно увеличивается, а их длины стремятся к нулю.

В самом обозначении

сохраняются воспоминания об интегральной сумме, из ко­торой получается интеграл. В Италии букву 5 часто пишут в виде ?. Поэтому сам знак интег­рала есть просто первая буква латинского слова Summa (сумма). Вслед за знаком [ указывается, что суммировались выражения f(xk)(xk-xk-1). Только вместо разности xk-xk-1 пишут dx, где d — первая буква латинского слова differentia (разность). Понятие интеграла является одним из основных в математике. Пользуясь этим по­нятием, можно записать многие полученные

356