Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ

Задача Кеплера

Если бы бочки умели говорить, то, несо­мненно, многие из них с удовольствием рас­сказали бы поучительную историю о великих заслугах бочек в создании ... высшей матема­тики! История эта такова.

В ноябре 1613 г. королевский математик и астролог австрийского двора И. Кеплер праздновал свадьбу. Готовясь к ней, он при­обрел несколько бочек виноградного вина. При покупке Кеплер был поражен тем, что про­давец определял вместимость бочки, производя одно-единственное действие — измеряя рас­стояние от наливного отверстия до самой даль­ней от него точки днища (рис. 1). Ведь такое измерение совсем не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увидел, что перед ним интерес­нейшая математическая задача — по нескольким измерениям вычислить вместимость бочки. Размышляя над этой задачей, он нашел фор­мулы не только для объема бочек, но и для объема самых различных тел: лимона, яб­лока, айвы и даже турецкой чалмы. Для каждого из тел Кеплеру приходилось создавать новые, зачастую очень хитроум­ные методы.

В наши дни вычислять объемы различных тел (значительно более сложных, чем у Кепле­ра) необходимо при решении многих техни­ческих задач: при нахождении объема корпуса корабля, объема газгольдера, объема водохра­нилища и др. И решать такие задачи приходится почти каждому инженеру, каждому тех­нику. Простые и общие методы решения по­добных задач даются высшей математикой.

Математика за чайным столом

Чтобы получить представление об этих общих методах, попробуем найти объем поданного к сто­лу лимона. Ни на одно из тел, изучаемых в школе (шар, цилиндр, конус и т. д.), лимон непохож. Однако хозяйка тут же приходит нам на помощь: она разрезает лимон на тонкие ломтики. Ровно обрезав край каждого ломтика, можно превра­тить его в низенький цилиндр (рис. 2), объем которого легко высчитать. Прикладывая друг к другу эти цилиндры, мы получим ступенчатое тело (рис. 3). Его объем равен сумме объемов цилиндров. Если ломтики очень тонки, то объем ступенчатого тела мало отличается от объема лимона, и чем тоньше будут ломтики, тем это отличие будет меньше.

Объем тела

Прием, примененный нами для вычисления объема лимона, пригоден для вычисления объе­ма любого тела вращения. Пусть фигура ABCD (рис. 4) вращается вокруг стороны АВ. Разре­жем получающееся тело вращения (рис. 5) на тонкие ломтики и каждый ломтик заменим цилиндром. Тогда легко сможем найти объем

354