Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

на не изгибается совсем. Но если нагрузка до­стигнет некоторого значения, называемого кри­тическим, то колонна начнет изгибаться, причем ее ось примет форму синусоиды. В этом можно убедиться на опыте, сгибая вместо ко­лонны металлическую линейку. Критическая сила равна:

F=p2EI/l2,

где l — высота колонны, а числа Е и I зависят от материала колонны и размеров ее сечения. Из формулы видно, что чем длиннее колонна, тем меньшая сила нужна, чтобы ее согнуть. Это также можно проверить, изгибая линейку.

Формула критической силы была открыта Л. Эйлером.

Затухающие колебания

До сих пор, говоря о колебаниях маятника, гири, качающейся на пружине, и т. д., мы пре­небрегали сопротивлением воздуха. На самом деле из-за сопротивления воздуха амплитуда колебаний становится все меньше и меньше, колебания затухают. Отклонение точки, со­вершающей затухающие колебания, выражается такой формулой:

s=Ае-kt sin(wt+a).

Так как множитель е-kt уменьшается с течени­ем времени, то размах колебаний становится все меньше и меньше. После каждого полного

колебания амплитуда уменьшается в е раз.

 

Число 2p/w называют логарифмическим декрементом затухающего ко­лебания. Чем больше логарифмический декре­мент, тем быстрее затухают колебания. Через некоторое время они станут такими маленьки­ми, что приборы покажут полную остановку тела. График затухающего колебания изобра­жен на рис. 10.

Если сопротивление среды очень большое (скажем, если маятник качается не в воздухе, а в масле), то колебаний не будет совсем — вы­веденный из положения равновесия маятник медленно будет опускаться, приближаясь к по­ложению равновесия. В этом случае закон его движения задается формулой вида:

s=А1е-k1t+A2e-k2t,

где числа А1 и А2 зависят от начального поло­жения и начальной скорости маятника.

При электрических колебаниях также про­исходят затухающие колебания из-за наличия сопротивления цепи.

Вынужденные колебания

Рассмотрим снова гирю, качающуюся на пружине. Если не мешать ей качаться, то она будет совершать колебания с определенной частотой w. Эта частота называется собст­венной частотой колебания гири. Сов­сем по-другому будут выглядеть колебания ги­ри, если мы будем раскачивать ее. Пусть рас­качивающая сила сама изменяется по синусо­идальному закону, т. е. тащит гирю то вверх, то вниз. Тогда гиря будет совершать колеба­ния, получающиеся при сложении двух коле­баний. Одно из них происходит с собственной частотой колебания гири, а второе — с часто­той раскачивающей силы. Пусть в начале коле­бания гиря находится в состоянии покоя и рас­качивающая сила изменяется по закону: F=Asinbt. Тогда закон движения гири выразится формулой:

где w — собственная частота колебаний гири. График пути гири имеет уже довольно сложный вид. Дело в том, что функции sinbt и sinwt меняются с разной частотой. Поэтому иногда два колебания, в которых участвует гиря, направлены в разные стороны (так будет, на­пример, в начале колебания) и гасят друг дру­га. Иногда же они направлены в одну сторону, и тогда они усиливают друг друга.

Наибольшая амплитуда колебания равна

примерно ?A/(w(w-b))?. Отсюда видно, что если [3

Рис. 10. График затухающего колебания.

349