Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

сить к этому стержню гирю в 1 кГ, то он вытянется на 1/E м. Для стали модуль Юнга равен

2 150 000 кГ/см2 а для дуба — 105 000 кГ/см2, т. е. в 20 раз меньше.

Чем больше модуль Юнга, тем меньше про­гиб балки. Поэтому стальные балки прогиба­ются меньше, чем деревянные.

Исследование зависимости прогиба балки от материала, из которого она сделана, — это скорее дело физики, чем математики. Матема­тиков больше интересует зависимость прогиба от длины балки и от размеров и формы ее сече­ния. А то, что форма сечения влияет на прогиб, легко видеть из простого опыта. Обычную школьную линейку легко согнуть, если поло­жить ее плашмя, и трудно, если поставить на

Рис. 1. Линейку легко согнуть, если положить ее плашмя, и трудно, если поставить на ребро.

ребро (рис. 1). Этот опыт показывает еще, что прогиб зависит не от площади сечения (ведь площадь сечения линейки одна и та же, лежит она плашмя или поставлена на ребро). Оказы­вается, дело не в площади сечения, а в его мо­менте инерции. Момент инерции / подсчи­тывают так. Сечение балки мысленно разре­зают на очень тонкие горизонтальные слои и площадь каждого слоя умножают на квадрат расстояния этого слоя от среднего слоя. Сумма этих произведений и дает момент инерции сече­ния балки. Подсчеты показывают, что момент инерции для круглого сечения радиуса R равен pR4/4, а для квадратного сечения со стороной а равен a4/12.

Произведение EI модуля Юнга на момент инерции сечения балки называют жесткостью балки. Чем больше жесткость, тем труднее изогнуть балку. Можно увеличить жесткость балки, не меняя площади ее сечения. Для этого надо сосредоточить основную массу балки на

большом расстоянии от среднего слоя, напри­мер придать сечению форму, изображенную на рис. 2, слева (двутавровые балки), или заменить сплошную балку трубой (рис. 2, спра­ва). Поэтому, например, в велосипедах делают корпус не из сплошных стержней, а из труб.

Прогиб балки

Прогиб балки зависит не только от ее жест­кости, но и от длины балки, распределения на­грузки, от того, заделаны ли в стену оба конца балки или только один, и т. д. Чтобы найти наибольший прогиб балки, надо знать форму, которую она принимает после изгиба.

Возьмем балку длины l, заделаем оба ее конца в стены и положим на нее равномерно распределенную нагрузку Q. Тогда прогиб у в точке, находящейся на расстоянии х от ле­вого конца балки, выражается формулой:

y=(Q/24EIl)(x4-2lx3 +l2x2),

т. е. многочленом четвертой степени. График этого многочлена изображен на рис. За. Ясно,

что самый большой прогиб балки будет в сере­дине, т. е. при х=l/2. Он равен ymax= Ql3/384EI.

Балки, на которые опираются балконы, за­делываются в стену лишь одним концом, вто­рой же конец оставляют свободным. Такие балки называются консольными. Фор­ма равномерно нагруженной консольной балки выражается уравнением:

y=(Q/24EIl)(x4-4lx3+6l2x2)

343