линейных координатах. После развертки по­верхности на плоскость криволинейные коор­динаты и и v превратятся в декартовы коорди­наты.

Итак, кусок жести должен быть сверху

очерчен по синусоиде v=asin(u/a). Здесь

u и v уже декартовы координаты на плос­кости (рис. 24).

Как в случае сферы и цилиндрической поверхности, так и в общем случае задание поверхности параметрическими уравнениями влечет за собой установление на поверхности криволинейной системы координат. Действи­тельно, выражение декартовых координат х, у, z произвольной точки М (х; у; z) поверхности через два параметра u, v (это в общем случае записыва­ют так: ж=j (u; v), y=y(u; v), z=w (u; v), j, y, w— функции двух аргументов) дает возможность, зная пару чисел u, v, найти соответствующие координаты х, у, z, а значит, положение точ­ки М на поверхности; числа u, v служат ее координатами. Давая одной из них постоянное значение, например u=u₀, получим выра­жение х, у, z через один параметр v, т. е. пара­метрическое уравнение кривой. Это — коор­динатная линия одного семейства, ее уравне­ние u=u₀. Точно так же линия v=v₀ — коор­динатная линия другого семейства.

 

ФУНКЦИИ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ

Одним из самых важных понятий в мате­матике и ее приложениях является понятие функции. Всюду, где есть величины, связан­ные так, что с изменением одних (аргументов) меняются другие (функции), мы имеем дело с функциональной зависимостью. Эта зависимость может задаваться по-разному — форму­лами, графиками, таблицами. Бывают случаи, когда зависимость нельзя выразить формулой. Например, температура воздуха меняется с те­чением времени, однако формулы, выражающей температуру воздуха в данный момент вре­мени, нет (как легко жилось бы метеорологам, если бы такая формула была!). В некоторых случаях приходится довольствоваться графи­ком функции (например, самопишущий прибор термограф дает график температуры воздуха как функции времени) или только таблицей значений функции для некоторых значений аргумента.

Чаще всего, однако, для описания функций пользуются формулами. В школе изучают слу­чаи, когда эти формулы сравнительно просты. Например, зависимость площади круга от его радиуса выражается формулой S=pr², тока от

сопротивления — формулой I= V₀/R и т. д. Возни­кает вопрос: встречаются ли на практике зави­симости, выражаемые с помощью более слож­ных функций, например многочленов высо­ких степеней, показательной, логарифми­ческой и тригонометрических функций? Мы расскажем здесь о некоторых случаях, когда такие функции встречаются в задачах физики и техники.

Жесткость балки

Балками в технике называют деревянные или металлические брусья, на которых лежат перекрытия зданий. Балки должны выдержи­вать вес перекрытий и предметов, находящихся в здании. Под этой тяжестью они изгибаются. Если балки изогнутся слишком сильно, пере­крытие может рухнуть. Поэтому до постройки здания надо рассчитать, выдержат ли балки на­грузку. Этими расчетами занимается специаль­ная наука — сопротивление материалов.

Прогиб балки зависит от очень многих при­чин. Под одной и той же нагрузкой деревянная балка изогнется сильнее, чем стальная, длин­ная — сильнее, чем короткая, тонкая — силь­нее, чем толстая. Зависимость прогиба балки от материала, из которого она сделана, связана с особой величиной Е, называемой модулем Юнга.

Модуль Юнга измеряется в кГ/см². Если из вещества с модулем Юнга Е кГ/см² сделать стержень длиной 1 м и сечением 1 см² и подве-

342