линейных координатах. После развертки поверхности на плоскость криволинейные координаты и и v превратятся в декартовы координаты.
Итак, кусок жести должен быть сверху
очерчен по синусоиде v=asin(u/a). Здесь
u и v уже декартовы координаты на плоскости (рис. 24).
Как в случае сферы и цилиндрической поверхности, так и в общем случае задание поверхности параметрическими уравнениями влечет за собой установление на поверхности криволинейной системы координат. Действительно, выражение декартовых координат х, у, z произвольной точки М (х; у; z) поверхности через два параметра u, v (это в общем случае записывают так: ж=j (u; v), y=y(u; v), z=w (u; v), j, y, w— функции двух аргументов) дает возможность, зная пару чисел u, v, найти соответствующие координаты х, у, z, а значит, положение точки М на поверхности; числа u, v служат ее координатами. Давая одной из них постоянное значение, например u=u0, получим выражение х, у, z через один параметр v, т. е. параметрическое уравнение кривой. Это — координатная линия одного семейства, ее уравнение u=u0. Точно так же линия v=v0 — координатная линия другого семейства.
Одним из самых важных понятий в математике и ее приложениях является понятие функции. Всюду, где есть величины, связанные так, что с изменением одних (аргументов) меняются другие (функции), мы имеем дело с функциональной зависимостью. Эта зависимость может задаваться по-разному — формулами, графиками, таблицами. Бывают случаи, когда зависимость нельзя выразить формулой. Например, температура воздуха меняется с течением времени, однако формулы, выражающей температуру воздуха в данный момент времени, нет (как легко жилось бы метеорологам, если бы такая формула была!). В некоторых случаях приходится довольствоваться графиком функции (например, самопишущий прибор термограф дает график температуры воздуха как функции времени) или только таблицей значений функции для некоторых значений аргумента.
Чаще всего, однако, для описания функций пользуются формулами. В школе изучают случаи, когда эти формулы сравнительно просты. Например, зависимость площади круга от его радиуса выражается формулой S=pr2, тока от
сопротивления — формулой I= V0/R и т. д. Возникает вопрос: встречаются ли на практике зависимости, выражаемые с помощью более сложных функций, например многочленов высоких степеней, показательной, логарифмической и тригонометрических функций? Мы расскажем здесь о некоторых случаях, когда такие функции встречаются в задачах физики и техники.
Балками в технике называют деревянные или металлические брусья, на которых лежат перекрытия зданий. Балки должны выдерживать вес перекрытий и предметов, находящихся в здании. Под этой тяжестью они изгибаются. Если балки изогнутся слишком сильно, перекрытие может рухнуть. Поэтому до постройки здания надо рассчитать, выдержат ли балки нагрузку. Этими расчетами занимается специальная наука — сопротивление материалов.
Прогиб балки зависит от очень многих причин. Под одной и той же нагрузкой деревянная балка изогнется сильнее, чем стальная, длинная — сильнее, чем короткая, тонкая — сильнее, чем толстая. Зависимость прогиба балки от материала, из которого она сделана, связана с особой величиной Е, называемой модулем Юнга.
Модуль Юнга измеряется в кГ/см2. Если из вещества с модулем Юнга Е кГ/см2 сделать стержень длиной 1 м и сечением 1 см2 и подве-
342