Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Криволинейные координаты. Общая идея координат

На любой поверхности можно установить координатную систему, определяя положение точки на ней опять-таки двумя числами. Для этого каким-либо способом покроем всю по­верхность двумя семействами линий так, чтобы через каждую ее точку (быть может, за неболь­шим числом исключений) проходила одна, и только одна, линия из каждого семейства. Те­перь надо лишь снабдить линии каждого се­мейства числовыми пометками по какому-нибудь твердому правилу, позволяющему по чис­ловой пометке находить нужную линию семей­ства (рис. 22).

Координатами точки М поверх­ности служат числа u, v, где u — числовая пометка линии первого семейства, проходящей через М, и v — пометка линий второго семейст­ва. По-прежнему будем писать: М (u; v), чи­сла и, v называются криволинейными коорди­натами точки М. Сказанное станет совсем ясным, если за примером обратиться к сфере. Ее всю можно покрыть меридианами (первое се­мейство); каждому из них соответствует чис­ловая пометка, а именно значение долготы u (или j). Все параллели образуют второе се­мейство; каждой из них отвечает числовая по­метка — широта v (или 6). Через каждую точку сферы (исключая полюсы) проходит только один меридиан и одна параллель.

В качестве еще одного примера рассмотрим боковую поверхность прямого круглого ци­линдра высоты Н, радиуса a (рис. 23). За пер­вое семейство примем систему его образующих, одну из них примем за начальную. Каждой об­разующей припишем отметку u, равную длине дуги на окружности основания между началь­ной образующей и данной (дугу будем отсчиты­вать, например, против часовой стрелки). За

второе семейство примем систему горизонталь­ных сечений поверхности; числовой помет­кой v будем считать высоту, на которой прове­дено сечение над основанием. При надлежа­щем выборе осей х, у, z в пространстве будем иметь для любой точки М (х; у; z) нашей по­верхности:

х=acos(u/a), у=asin(u/a), z=v, (14) 0Јu<2pa, 0ЈvЈH.

(Здесь аргументы у косинуса и синуса не в градусах, а в радианах.) Эти уравнения мож­но рассматривать как параметрические урав­нения поверхности цилиндра.

Задача 9. По какой кривой надо выре­зать кусок жести для изготовления колена водосточной трубы, чтобы после надлежащего изгибания получился цилиндр радиуса а, усе­ченный плоскостью под углом 45° к плоскости основания?

Решение. Воспользуемся параметри­ческими уравнениями поверхности цилиндра:

х=acos(u/a), у=asin(u/a) ,

z=v.

Секущую плоскость проведем через ось Ох, ее уравнение z=y. Комбинируя его с только что написанными уравнениями, получим уравне­ние v = a sin — линии пересечения в криво-

341