Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

дачи первой степени: например, пересечение двух прямых соответствует в декартовых коор­динатах решению системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Присое­динив циркуль, мы, оказывается, можем уже решать все задачи второй степени, т. е. такие, которые аналитически сводятся к решению ряда квадратных уравнений с одним неизвест­ным. Ведь пересечение прямой с окружностью означает совместное решение уравнения окруж­ности и уравнения прямой; после исключения одной координаты получается квадратное урав­нение с одной неизвестной координатой. Пере­сечение двух окружностей можно заменить пересечением одной из них с хордой, проходя­щей через обе точки пересечения. Аналитически это вполне ясно. Напишем уравнения этих окружностей:

х2+у2+Dx+Еу+F=0, х22+D'x+Е'у+F'=0.

Вычтя одно из другого, получим уравнение первой степени (это и есть уравнение упомяну­той хорды). Значит, опять получается пересе­чение прямой с одной из окружностей, что (как уже было сказано) сводится к квадратному уравнению с одним неизвестным. Таким обра­зом, циркуль и линейка способны решать лишь задачи, которые сводятся к последовательному решению ряда квадратных уравнений с одним неизвестным. Поэтому всякое уравнение, кото­рое нельзя свести к решению ряда квадратных уравнений (например, х3=2), не может быть решено графически циркулем и линейкой. Как раз задача об удвоении куба и есть задача о ре­шении уравнения x3=2: приняв за 1 ребро дан­ного куба, для ребра х искомого получаем имен­но это уравнение. Задача о трисекции угла (кроме некоторых частных случаев, например угол в 90°) тоже оказывается задачей третьей степени, отсюда — невозможность решения ее при помощи циркуля и линейки.

Если же воспользоваться прибором для чер­чения парабол, то, вычертив две параболы х2и 2х=у2, в пересечении получим точку, абсцисса которой как раз удовлетворяет урав­нению х3=2.

Полярные координаты

При решении многих задач удобнее пользо­ваться так называемыми полярными координа­тами: на плоскости выбирают неподвижную точку О (полюс) и выходящий из нее луч ОР

(полярная ось). Положение точки М в этом слу­чае определяется двумя числами: ее расстоя­нием r от полюса и углом j=РРОМ (рис. 16). Числа r (полярный радиус) и j (полярный угол) называются полярными координатами точки М. Часто оказывается полезным рассматривать на плоскости полярную систему координат вместе с декартовой. Рассмотрим такое распо­ложение, когда полюсом служит начало декар­товой системы, а полярной осью — ось абсцисс;

Эти формулы позволяют вычислить декартовы координаты, когда известны полярные.

Пример. Выяснить форму кривой

(x2+y2)22(х22)

(она называется лемнискатой). Исследовать ее форму непосредственно по написанному уравнению не так легко. Перейдем к поляр­ным координатам. Заменив х и у по фор­мулам (11), получим: r4= a2r2(cos2j-sin2j).

тогда рисунок подсказывает связь между по­лярными и декартовыми координатами точки:

Или, сократив на r2 (при этом могла бы поте­ряться лишь одна точка кривой r=0), получим:

r2=a2cos2j, или r=+aЦ(cos2j) . По этому

простому уравнению легко построить нашу кри­вую. Кривая строится по точкам (рис. 17). Даем j различные значения, например j=0,

±15°, ±30°, ±45°, ±135°.. Вычисляем соответствующие r=а, а 4Ц(3/4), аЦ(1/2), 0, 0.

338