Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

через а и b (постоянные числа, так как точка по палочке не двигается).

Обозначим через t (переменный) угол, обра­зованный палочкой с отрицательным направ­лением оси Ох. На рис. 14 видно, что

x=acost, y=bsint.

Эти два уравнения можно рассматривать как особый вид уравнений кривой. Здесь связь между х и у задана при помощи вспомогатель­ного переменного (параметра) t. Такие урав­нения кривой называются параметрическими.

По ним построение кривой делают так: дают произвольные значения параметру t, каждый раз вычисляя соответствующие значения x и y, что определяет точку кривой. Так, точка за точ­кой можно построить сколько угодно точек кривой. Если вы хотите получить обычное ее уравнение, следует исключить из параметри­ческих уравнений параметр t (не всегда это легко сделать!), т. е, составить их следствие, не содержащее t. В данном случае, деля эти уравнения: первое — на а, второе — на b, возводя в квадрат и складывая, получим:

(x/a)2+(y/b)2= sin2t+cos2t=1, или

x2/a2+y2/b2=1 (10)

Это простейшее уравнение эллипса. Эллипс — кривая, получаемая из круга равномерным рас­тяжением или сжатием в одном направлении (см. статью «Геометрические преобразования»). Как известно, по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца (первый закон Кеплера), искус­ственные спутники вокруг Земли.

Эллипсограф. Из рассмотренной только что задачи вытекает конструкция при­бора для черчения эллипсов (эллиптический

циркуль, или эллипсограф). Для этого нужно лишь к подвижной палочке прикрепить ка­рандаш, который можно было бы закреплять винтом в различных положениях на палочке. Этот карандаш при описанном выше движении палочки вычертит эллипс, полуоси которого а, b зависят от того, в какой точке палочки закреплен карандаш. Из уравнения (10) сле­дует, что середина палочки описывает окруж­ность, ведь для середины а=b! На рис. 15 показан эллипсограф несколько иной конструк­ции.

Неразрешимые задачи на построение

Сталкиваясь впервые с задачами на построе­ние, которые не могут быть решены цирку­лем и линейкой, всякий испытывает сначала неудовлетворенность, — как это нельзя решить? Между тем в этом нет ничего странного, просто циркуль и линейка — недостаточно сильные (мо­жет быть, лучше сказать — недостаточно тонкие) инструменты для решения некоторых задач. Таковы, например, задачи о делении произ­вольного угла на три равные части (трисекция угла) и об удвоении куба («Построить ребро куба двойного объема по сравнению с данным кубом»). Некоторые из таких задач становятся разрешимыми, если к линейке и циркулю при­соединить, например, прибор, вычерчивающий параболу, или эллипсограф.

Чтобы разобраться, какие же задачи разрешимы с помощью циркуля и линейки,

будем рассуждать так. Линейка дает воз­можность строить прямую, проходящую через две уже построенные точки, находить точки пересечения прямых. Присоединяя к линейке циркуль, мы можем строить окружности любых данных радиусов с заданным центром, нахо­дить точки пересечения двух окружностей и окружности с прямой. Подойдем к вопросу аналитически. Прежде всего заметим, что одна линейка дает возможность решать лишь за-

337