Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

т. е. расстояние от точки 00) до прямой Ах+Ву+С=0, равно частному от деления аб­солютной величины результата подстановки в левую часть уравнения прямой координат точки 00) на «нормирующий» корень Ц(A2+B2).

Окружность

Как известно, окружностью называется мно­жество точек плоскости, находящихся от за­данной точки Г (центра) на заданном расстоя­нии R (радиус). Запишем это определение ана­литически относительно декартовой системы координат. Пусть С (а; b). Тогда для любой точки Р (х; у) окружности PC=R, т. е.

Ц((x-а)2+(у-b)2)=R,

или

(х-а)2 +(у-b)2= R2 (8)

Это и есть (общее) уравнение окружности. Рас­крыв в нем скобки

x2+y2-2ах-2by+a2+b2-R2=0, убеждаемся, что это есть частный случай общего уравнения второй степени относитель­но х и у:

Ах2+Вху+Су2+Dx+Ey+F=0. (9) В нашем случае A=C=1, B=0. Оказывается, что всякое уравнение второй степени относи­тельно декартовых координат х, у, в котором коэффициенты при х2 и y2 равны (и по абсолют­ной величине и по знаку: А=С), а коэффициент при ху равен нулю (B=0), либо является уравне­нием некоторой окружности (быть может, нуле­вого радиуса), либо ни одна (действительная) точка плоскости ему не удовлетворяет.

Задача 8. Построить окружность 2х2 +2y2+Зy=0. Пишем уравнение так:

x2+y2+(3/2)y+9/16=9/16,

или x2+(y+3/4)2=(3/4)2. Сравнивая с общим

Координатная система в поэзии Н. А. Некрасова

... идите по лесу

Против столба тринадцатого

Прямехонько версту:

Придете на поляночку,

Стоят на той поляночке

Две старые сосны ... (Кому на Руси жить хорошо).

«Тринадцатого» и «версту» — координаты поляночки с двумя старыми соснами.

уравнением окружности, видим, что а=0, b=-3/4,

R=3/4. Теперь легко выполнить построение.

Если в общем уравнении второй степени АС или В0, то такое уравнение уже не будет задавать окружности. Оказывается, возможны здесь только такие линии: парабола, эллипс (см. пример 2 на стр. 336, 337), гипербола или (если левая часть уравнения разлагается на мно­жители первой степени) пара прямых. Все они называются линиями второго порядка. Впрочем, бывает и так, что ни одна точка плоскости урав­нению не удовлетворяет, например: 2x2+3y2+1=0 (мнимый эллипс).

Аналитическое решение геометрических задач

При решении геометрической задачи анали­тическим методом прежде всего выбирают си­стему координат (от удачного выбора ее зави­сит простота вычислений). Затем находят в этой системе координаты заданных точек и урав­нения заданных прямых, окружностей и т.д. Этим задача переводится на аналитический язык и превращается в задачу аналитической геометрии.

Пример 1. Доказать, что три высоты треугольника АBС всегда пересекаются в од­ной точке.

Примем одну из высот ОС за ось Оу, а соот­ветствующее основание А В — за ось Ох. Коор­динатное обозначение вершин: А (-р; 0), B(q; 0), С (0; h) (h высота, р, q — проекции сторон СА и СВ на основание). По формуле (4) составляем уравнения боковых сторон:

hx-ру+ph=0 (СА), hx+qy+ph=0 (CB).

(Сделайте проверку: (-р; 0) лежит на СА, (0; h) — тоже.) Составляем уравнения боко­вых высот: px+hy=pq, qx-hy=-pq (см. задачу 7). Точка пересечения (0; pq/h), найденная совместным решением их уравнений, оче­видно, лежит на третьей высоте, так как ее абс­цисса равна нулю, и т. д.

Пример 2. Эллипс. Выяснить, ка­кую кривую опишет точка тонкой прямоли­нейной палочки, скользящей своими концами по неподвижным взаимно перпендикулярным прямым Ох и Оу.

Примем эти прямые за оси координат. Рас­стояния точки от концов палочки обозначим

336