Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Проверим, что искомое уравнение можно за­писать так:

(х-х1)•(y2-у1)-(у- y1)•(x2-х1)=0. (4)

Прежде всего это уравнение первой степени относительно текущих координат х, у, — значит, оно есть уравнение прямой. Подставив вме­сто текущих координат x и y сначала x1 и y1, а затем x2 и y2, убеждаемся каждый раз, что уравнение обращается в тождество, — значит, эта прямая проходит и через точку (x1;y1), и через точку (x2; y2).

Обычно уравнение (4) записывают в более удобной для запоминания форме:

(x- х1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). (4')

Однако последняя перестает служить, если х12 или у12.

3) Даны две прямые: Ах+Ву+С=0 и А'х+B'y+C'=0. Найти точку их пересечения. Точка пересечения лежит на той и на другой прямой, следовательно, ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Итак, для нахождения их надо решить совместно эти уравнения (система двух уравнений с двумя неизвестными).

4) Как следует из сказанного ранее, угло­вой коэффициент k характеризует направление прямой, поэтому равенство угловых коэффи­циентов двух прямых означает их параллель­ность. Так как k=-A/B, то условие параллель­ности (k=k') прямых Ах+Ву+С=0 и A'x+B'y+C'=0 может быть записано и так:

А:В=А':В'. (5)

5) Условие перпендикулярности. Если пря­мые перпендикулярны, то углы a и a', образуе­мые ими с осью Ох, разнятся на 90°:a' =a+90°, поэтому их угловые коэффициенты k и k' удов­летворяют равенству kk' =-1. Это легче всего усмотреть из рис. 13: на нем треугольник ОЕЕ' прямоугольный, k и -k' служат проекция­ми катетов на гипотенузу, поэтому их произве­дение равно квадрату высоты: k(-k') =OE12 =1. Иначе условие перпендикулярности

пишут в виде: k' =-1/k или, в силу равенств

k=-A/B, k'А=-A/B,в виде:

АА'+ВВ'=0. (6)

Задача 7. Через точку (2;-3) провести прямую, перпендикулярную прямой 4х-3y+2=0.

Решение. Для изменения направле­ния на перпендикулярное достаточно (выполняя условие (6) обменять местами коэффициенты А, В и у одного из них изменить знак: А =4, В= — 3; теперь возьмем A'=+3, B'=4. Урав­нение искомой прямой уже можно написать: Зх+4y+C'=0. Неизвестный пока член С' оп­ределится из требования, чтобы данная точка (2;-3) лежала на этой прямой: 3•2+4•(-3)+С'=0, или C'=6.

Ответ: 3x+4y+6=0.

6) Расстояние между точкой и прямой. Ре­шим частный случай этой задачи: найти длину р перпендикуляра из начала О (0; 0) на прямую Aх+By+С=0. Решение удобно вести по та­кой схеме:

1. Найти уравнение перпендикуляра из О (0; 0) на Ах+Ву+С=0 (см. задачу 7).

Ответ: Вх-Ау=0.

2. Проекция О' начала О на данную прямую получается совместным решением уравнений:

Ах+Ву+С=0 и Вх-Ау=0.

Ответ: x=-w/(A22) y=-CB/(A2+B2)

3. Остается найти искомое расстояние р как расстояние между О и О':

Общий случай: «найти расстояние d от точки Р0(х0; у0) до прямой Ах+Ву+С=0 — может быть решен тем же путем. В результате получим, что искомое расстояние

335