Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

d служит гипотенузой треугольника с катета­ми |х2-x1| и |y2-y1|, поэтому

d=+Ц((х2-x1)2+2-y1)2) (1)

(при возведении в квадрат знак абсолютной величины опущен, что, конечно, не меняет результата).

Важно заметить, что формула (1) верна при любом расположении точек A1 и А2. Проверьте, что, например, для А1 (-1; -2), A2 (3; -5) ка­теты будут действительно равны |3-(-1)| и |(-5)-(-2)| и формула (1) дает:

d=+Ц(42+(-3)2)=5.

Для аналитической геометрии общность формул имеет очень большое значение. Бла­годаря этой общности при решении задач ана­литически не нужно задумываться о том или ином расположении данных точек; можно ре­шать задачу, даже не глядя на чертеж. Если чертеж и делается, то обычно лишь прибли­зительный, который служит только схемой, местом, куда записываются данные (коорди­натные обозначения точек и пр.), а затем зано­сятся и найденные уже промежуточные и, наконец, окончательные результаты.

2) Середина отрезка.

Задача. Даны концы отрезка А111), А2 (x2; у2) Найти его середину М. Обозна­чим координаты искомой середины М через x, у: М (х; у). Теперь, из рис. 6, видно, что

ордината у служит средней линией трапеции, поэтому

y=(y1+y2)/2. . (2)

точно так же

x=(x1+x2)/2. (2)

Если знаки у1 и y2 противоположны, то это доказательство неубедительно, однако форму­лы (2) остаются справедливыми во всех слу­чаях. Проверьте это.

Задача 4, Дан треугольник АBС: 4(12; 6), В (-2; 4), С (6; -2). Найти длины его сторон и медиан.

Задача 5. На оси Ох найти точку М, которая находилась бы от точки А (3; -1) на расстоянии, равном 5.

Решение. Обозначим координаты иско­мой точки М через (х; у). Она лежит на оси х, следовательно, y=0. Остается определить х. Записав аналитически (см. формулу (1) условие задачи: АМ=5, получим уравнение для опре­деления х

Задача 6. Найти точку М (х; у), находя­щуюся на равных расстояниях от осей коорди­нат и удаленную на 5 единиц от точки А (-1; 6). Для определения х, у нужно лишь решить систему |x|=|y|, (x+l)2+(y-6)2 =52. Всего четыре ответа.

Задание фигуры, состоящей из бесчис­ленного множества точек

Для задания фигуры Ф в этом случае ста­раются подыскать такое условие, которому: 1) удовлетворяют координаты х, у всех точек из Ф; 2) не удовлетворяет ни одна чужая точка (т.е. не принадлежащая Ф). То, что здесь сказа­но, станет понятнее на следующих примерах:

1. Подыщем условие для фигуры, состоящей из всех точек оси Ох. Координаты всех ее точек удовлетворяют уравнению y=0, и, конечно, ни одна чужая точка ему не удовлетворяет, так как она лежит либо выше оси Ох (тогда у >0), либо ниже (тогда y<0). Уравнение y=0 и слу­жит искомым условием.

2. Все точки биссектрисы координатного угла хОу удовлетворяют уравнению х=у, и ни одна чужая точка. (Биссектриса считается про­долженной бесконечно в обе стороны.)

3. Все точки внутренней части координат­ного угла хОу удовлетворяют системе нера­венств x>0, y>0. Эта система служит усло-

331