Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Декартовы координаты точки

Положение точки на плоскости можно за­дать при помощи двух чисел х и у, если предва­рительно: 1) выбрать на этой плоскости две какие-нибудь взаимно перпендикулярные пря­мые (обычно одну горизонтальную, другую вер­тикальную: например, на листе бумаги — ниж­ний и левый его края), 2) снабдить эти прямые направлениями (например, направо и вверх) и 3) условиться о единице для измерения длин (например, сантиметр). Точку О пересечения прямых называют началом, а сами направ­ленные прямые — осями координат: первую из них — осью Ох или осью аб­сцисс, вторую — осью Оу или осью ор­динат. Теперь для задания положения точ­ки нужно лишь указать: 1) на каком расстоя­нии от оси Оу она находится: это расстояние, взятое со знаком «+» или «-», обозначается буквой х и называется абсциссой точ­ки; 2) на каком расстоянии она лежит от оси Ох; это расстояние, со знаком «+» или «-», обозначается у и называется ее ординатой. Если точка лежит по ту сторону от оси Оу, куда направлена ось Ох, то для абсциссы берут знак «+», в противном случае — знак «-». Подобным же образом выбирается знак «+» или «-» для ординаты. У точек самой оси Ох ординаты равны нулю (у=0), у точек оси Оу абсциссы равны нулю (x=0). Если у точки А абсцисса равна х, а ордината равна у, то пи­шут: А (х; у) (рис. 2). Числа х, у называют декартовыми координатами точки (х; у).

В обо­значении (х; у) на первом месте всегда стоит абсцисса, на втором — ордината. На рис. 3 указаны знаки координат для точек различных координатных углов (четвертей, или квадран­тов): на первом месте — знак абсциссы, на вто­ром — знак ординаты. Обе координаты начала О равны нулю, что записывают так: 0(0; 0).

Задача 1. Проверьте правильность обо­значения точек на рис. 4.

Нужно привыкнуть безошибочно решать при заданном расположении и направлении осей и заданной единице длины две перво­начальные задачи: 1) найти координаты каж­дой указанной на рисунке точки, 2) по за­данным координатам х, у построить точку

(х;у).

Вот пример более сложной задачи: Задача 2. Построить пятиугольник ABCDE, если А (-3; 1), В (2; -2), С (0; 31/2), D(-2;-2), E(3;1).

Задача 3. Какую фигуру образуют все точки, у которых: 1) абсцисса равна нулю (х=0); 2) ордината больше двух (y>2); 3) аб­сцисса равна ординате (х=у); 4) х=-у; 5) |х|=|y| (где |х| — обозначение для абсолют­ной величины числа х: если х отрицательно, то |х| =-х, в противном случае |х|=x); 6) x=0 и y>2.

Простейшие задачи

При решении геометрических задач коорди­натным методом постоянно приходится опирать­ся на несколько совсем простых стандартных задач: определение расстояния между точками, отыскание середины отрезка и др. При этом нужно иметь в виду, что выражение «дана точ­ка» означает, что дано ее координатное обозна­чение (х; у), т. е. заданы два числа х, у. «Найти точку» — означает найти ее координатное обозна­чение (х; у).

1) Расстояние между двумя точками.

Задача. Даны две точки А11; y1) и А2(х2; у2). Найти расстояние между ними (рис. 5).

Проведя вспомогательные линии, читатель без труда убедится, что искомое расстояние

330