Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Решение задачи методом двух ложных положений.

Задача. Отец ученика спросил учителя, сколько у того учится ребят. Учитель ответил, что если бы у него было учеников еще столько, сколько сейчас есть, и полстолька, и четверть столька, и сын спрашивающего, то их было бы ровно 100 человек.

В нашей записи задача сводится к решению уравнения:

x+x+x/2+x/4+1=100.

Решение по Магницкому. Де­лаем первое предположение: учеников было 24. Тогда согласно условию имели бы: 24+24+12+6+1 = 67 , т. е. на 100-67=33 меньше тре­буемого (первое отклонение).

Делаем второе предположение: учеников было 32, тогда 32+32+16+8+1=89, т. е. на 100-89=11 меньше требуемого (второе откло­нение). На основании веками выработанного правила Магницкий указывает готовый способ нахождения х:

(32•33-24•11)/(33-11)=36.

Способ этот заключается в правиле: «Мно­жить первое предположение на второе откло­нение и второе предположение на первое откло­нение, из большего произведения вычесть меньшее и разность разделить на разность отклонений».

Так же надо поступить в том случае, если при обоих предположениях получилось больше, чем требуется в задаче.

Если при одном предположении получится больше, а при другом — меньше, чем требует условие задачи, то в формуле, по которой вы­числяется х, вместо знака «-» надо поставить знак «+». Например, пусть первое предполо­жение 60; тогда: 60+60+30+15+1 = 166, 166-100 = 66 (избыток). Пусть второе пред­положение 20; тогда 20+20+10+5+1=56, 100-56 = 44 (недостаток). В таком случае1

x=(60•44 + 20•66)/(66+44)=36

Введение понятия неизвестного числа

Важным этапом в развитии учения об урав­нениях является введение понятия неизвест­ного числа и символа для его обозначения. Это — «куча» с особым символом для ее обозна­чения у египтян и соответственно другие назва­ния и обозначения у вавилонян, древних греков, индийцев, народов Средней Азии. У евро­пейских народов систематическое обозначение неизвестного числа разными знаками возни­кает в средние века. Употребление для этого букв х, у, z окончательно устанавливается в XVII в. в работах Р. Декарта.

Способ решения уравнений первой степени, основывающийся на свойствах арифметических действий, развивался у разных народов в те­чение ряда веков. Основными приемами при этом были: перенос членов уравнения из одной части равенства в другую с противоположным знаком и приведение (соединение) подобных членов. Первый из этих приемов мог привести к понятию отрицательного числа, которое воз­никло значительно позже той эпохи, когда чело­век стал решать задачи, приводящиеся к урав­нению первой степени. Вследствие этого урав­нению придавали такой вид, чтобы все его чле­ны были положительными, и давали специальные правила для разных видов уравнений с поло­жительными членами. Среднеазиатский мате­матик ал-Хорезми в IX в. ясно понимал, что решение уравнения первой степени сводится к указанным двум операциям: к переносу отдельных членов его из одной части ра-

1 Правило, применяемое для вычисления х, легко обосновать (см.: И. Я. Депман. Рассказы о ма­тематике. М., Детгиз, 1954, стр. 61—62).

324