Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

1. В результате измерения получилась сум­ма s=a+b+g, отличие которой от 180° превосходит точность проведенных измерений (в данном случае 1°). В этом случае геодезист должен рассуждать примерно так. Если при­нять аксиому (А), в нашей геометрии сумма углов всякого треугольника будет равна 180°. Проведенный же опыт показывает, что приня­тая точность измерений не согласуется с таким выводом. Это означает, что такая геометрия для нашего геодезиста недостаточно хороша. Выводы ее он не смог бы применять в своей практике.

Зная длину АС, углы a и g, он не смог бы с необходимой точностью, как это описано вы­ше, определить длину АВ, ибо теорема Пифа­гора и признаки подобия треугольников спра­ведливы лишь там, где сумма углов треуголь­ника равна 180°. Ему пришлось бы для практи­ческих потребностей строить геометрию, где аксиома (А) не справедлива и, следовательно, сумма углов треугольника не равна 180°.

2. Сумма углов s=a+b+g, полученная в результате измерения, отличается от 180° на величину, не превосходящую точность изме­рений (в данном случае 1°). В этом случае гео­дезисту для практических нужд вполне пригод­на геометрия, в которой сумма углов треуголь­ника равна 180°. У него нет никаких оснований отвергать аксиому (А), а равно и предложение (В). Обычная евклидова «школьная» геометрия здесь оказывается весьма полезной, ее выводы приобретают большое практическое значение с точностью, принятой в измерениях нашего геодезиста.

Однако необходимо заметить, что геодезист и в данном случае не должен слишком прене­брежительно относиться к геометрии, где невер­на аксиома (А) и где сумма углов треугольника отлична от 180°. Не исключена возможность, что и такая геометрия в будущем окажет­ся ему полезной. Если все измерения гео­дезиста пока хорошо согласовывались с той геометрией, где сумма углов треугольника рав­на 180°, то, может быть, в дальнейшем, увели­чив точность приборов или измеряя углы зна­чительно больших космических треугольни­ков, он столкнется с тем, что при новых изме­рениях обычная геометрия уже не будет опи­сывать мир с достаточной точностью. И тогда понадобится совсем другая геометрия.

Итак, вопрос заключается лишь в том, какая геометрия с большей точностью описывает мир световых лучей, какой мысленный слепок с ре­ального мира является более точным.

Вполне владея изложенными идеями, Н. И. Лобачевский уже в первой половине XIX в. имевшимися в то время астрономиче­скими средствами измерил сумму углов весьма большого космического треугольника. За вер­шины были взяты две самые удаленные точки на эллиптической орбите Земли и одна из да­леких звезд. В результате измерения получи­лась величина, как и следовало ожидать, от­личная от 180°, однако это отличие не выходило за пределы точности примененных инструмен­тов. Таким образом, вопрос о том, какая гео­метрия точнее описывает мир световых лучей, остался открытым. Было неясно, понадобится ли вообще когда-нибудь геометрия, в которой не имеет места аксиома (А). Не является ли та­кая геометрия бесполезным плодом фантазии?

Нужны ли другие геометрии

Выше пояснялась естественность построе­ния геометрии, в которой сумма внутренних углов треугольника не равна 180° и, следова­тельно, не имеет места утверждение (А).

Впервые такую геометрию построил и раз­вил Н. И. Лобачевский в 1826 г. Геометрия Лобачевского строится на тех же аксиомах, что и евклидова, за исключением аксиомы о па­раллельных, которая заменяется противопо­ложным утверждением — аксиомой Лобачев­ского:

Через точку вне прямой в данной плоскости можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающие данную прямую.

Мы видели, что вопрос о том, какая гео­метрия — Евклида или Лобачевского — точнее описывает мир световых лучей, решается не так уж просто, хотя аксиома Лобачевского и кажется на первый взгляд парадоксальной. Огромной заслугой Лобачевского было то, что он этот вопрос поставил.

Впоследствии было построено много других геометрий — других мысленных слепков с ре­ального мира. Вопрос же о том, действительно ли понадобится какая-либо из этих геометрий при изучении реального мира световых лучей, оставался по существу открытым вплоть до 1916 г., когда крупнейший физик А. Эйнштейн создал так называемую общую теорию относи­тельности.

Широко известен анекдот о том, что Ньютон открыл закон тяготения, наблюдая за паде­нием яблока. Насколько же точно ньютонов-

318