Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

дывать даже при помощи самых мощных теле­скопов.

Напомним, что аксиомы изучаемой сейчас геометрии должны отражать свойства свето­вых лучей и подвергаться многократной про­верке на опытах со световыми лучами.

Наше предположение о том, что лучи а и d пересекутся, основано действительно на большом практическом опыте. Говоря, что лу­чи a и d пересекутся даже очень далеко (на­пример, на расстоянии 100 млн. км), мы ба­зируемся на большом опыте астрономических наблюдений.

Предположение же о том, что лучи света a и d пересекутся за пределами видимости самых мощных телескопов, уже основано на чистой фантазии. Ведь неизвестно, как там по­ведут себя лучи света. Здесь уже нет никаких оснований ссылаться на эксперимент.

Мы договорились, что эталон прямизны — это луч света. Чтобы сделать какое-либо за­ключение о поведении прямых a и d, надо знать физические свойства световых лучей.

Итак, вопрос о том, можно ли через точку А провести две прямые b и b', параллельные а, зависит от свойств световых лучей. Ясно, что, если угол j очень близок к 90°, эксперименталь­ная проверка того, пересекутся ли лучи а и d, невозможна.

Следует хорошо уяснить, что вопрос о том, можно ли из точки А провести только одну прямую, не пересекающую прямую а, решается не так уж просто. Ничего категорически здесь сразу сказать нельзя.

Разумеется, неочевидность какого-либо ут­верждения ни в какой мере не означает его несправедливости. Ведь теорема Пифагора, на­пример, тоже не так уж очевидна: совсем не сразу можно поверить в то, что площадь квад­рата, построенного на гипотенузе любого пря­моугольного треугольника, равна сумме пло­щадей квадратов, построенных на его катетах. Чтобы убедиться в справедливости теоремы Пифагора для любого прямоугольного треу­гольника, ее доказывают. Доказательство это опять-таки основывается на тех же аксиомах.

Возможно, в нашем вопросе положение ана­логично. Иными словами, можно ли доказать, исходя из принятых аксиом, такое предло­жение :

(А) Через точку вне прямой нельзя, провести более одной прямой, параллельной данной.

Возможно, что еще Евклид задавался этим вопросом, однако ответа на него у Евклида нет. Но так как этим предложением (или эквивалентным ему) приходилось пользоваться при доказательстве других теорем, пришлось при­нять предложение (А) за аксиому1. В стабиль­ном учебнике предложение (А) названо аксио­мой о параллельных. Итак, принимают новую аксиому, хотя, как объяснялось выше, есть все основания усомниться в ее справедливости в мире световых лучей.

 

 

 

Равна ли сумма углов треугольника 180°

Оставим пока в стороне вопрос о том, вклю­чать ли аксиому (А) в число аксиом геометрии, предназначенной для описания мира световых лучей. Укажем лишь, что именно с помощью аксиомы (А) в школьном учебнике доказывается теорема:

(В) Сумма внутренних углов любого треу­гольника равна 180° (в радианной мере p).

Несколько сложнее доказывается обратная теорема:

Если сумма внутренних углов хотя бы одного треугольника в точности равна 180°, то спра­ведлива аксиома о параллельных, т. е. через точку А невозможно провести в плоскости две различные прямые, не пересекающие данную прямую а, которая лежит в той же плоскости.

Таким образом, из аксиомы о параллель­ных следует, что сумма внутренних углов лю­бого треугольника равна 180°; наоборот, из того, что сумма углов некоторого треугольника равна 180°, следует аксиома (А).

Значит, в списке аксиом евклидовой геомет­рии можно вычеркнуть аксиому о параллель­ных, но вместо нее внести предложение (В). При этом все остальные теоремы евклидовой геометрии остались бы неизменными.

Мы выше пояснили трудность (даже практи­ческую невозможность) проверки аксиомы о параллельных в мире световых лучей. Если бы даже можно было выделить сколь угодно тонкий пучок световых лучей и если бы не было никакого их поглощения, то и тогда совер­шенно непонятным оставалось бы их поведе­ние за пределами видимости современных телескопов. Всегда неясным оставался бы вопрос о том, пересекутся ли лучи а и b', если угол j близок к 90 (см. рис. 7). Сказать, что лучи будут и дальше идти по прямой,— значит вообще ничего не сказать, ибо свойства прямой,

1 Евклид в качестве аксиомы принял другое предложение, которое, однако, равносильно предложению (А)

316

которые кладутся в основу рассматриваемой сейчас нами геометрии, выводятся на основа­нии изучения свойств реального мира свето­вых лучей, а не наоборот.

Приняв аксиому (А), мы получим геомет­рию, в которой сумма углов любого треуголь­ника равна 180°. Приняв предложение, проти­воположное аксиоме (А), мы получим геомет­рию, в которой сумма углов всякого треуголь­ника отлична от 180°. Как же здесь быть? При­нимать или не принимать аксиому (А)?

Ввиду чрезвычайных трудностей, связан­ных с экспериментальной проверкой аксиомы (А) в опытах со световыми лучами, возникает вопрос о том, не проще ли на таких опытах проверять предложение (В).

Поясним подробнее возникающее здесь по­ложение.

Представим себе, что на местности (рис. 4) ведутся геодезические работы. Пусть в пункте В на штативе укреплен шарик, который геодезист наблюдает в обычный теодолит, установлен­ный в пункте А.

Какой же величины надо взять шарик в пункте В для этих наблюдений? Шарик надо выбрать так, чтобы его изображение получи­лось с возможной точностью в центре окуляра теодолита. Если шарик таков, что его изобра­жение будет большим кружком, его надо умень­шить для более точной наводки. Значит, шарик не должен быть слишком большим. Уменьшать шарик, однако, имеет смысл лишь до тех пор. пока это уменьшение сказывается на точности наводки теодолита. Если чувствительность при­бора не даст возможности улучшить наводку путем дальнейшего уменьшения шарика, такое уменьшение просто бесполезно. Выбрав шарик надлежащего размера, геодезист считает, что он имеет дело с «точками» А и В, соединенными отрезком АВ. При этом, как и выше, шарик В может на самом деле быть довольно большим (это зависит, разумеется, от расстояния АВ).

Теперь представим себе, что в пункте С также установлен на штативе шарик надлежа­щих размеров. Поочередно наводя теодолит на шарики В и С, геодезист находит величину •а, равную разности отсчетов на лимбе теодо­лита.

Как указывалось выше, геометрия опери­рует абстрактными понятиями точки, прямой, треугольника и т. д. Поэтому наш геодезист, выполнив вполне конкретный физический экс­перимент с шариками и снопиками световых лучей, рассматривает абстрактный треуголь­ник АBС и считает, что величина угла в вер-

шине А равна a — разности отсчетов на лим­бе теодолита.

Понятно, что величина a зависит от того, насколько хорошим и совершенным был при­мененный теодолит. Поэтому, применяя различ­ные измерительные приборы, геодезист должен был бы каждый раз изучать другой абстракт­ный треугольник АBС.

Представим себе для определенности, что конструкция теодолита не дает возможности фиксировать показания на лимбе более мелкие, нежели 10'. В таком случае, выполнив отсчет на лимбе после наведения на шарик B, говорят, что отсчет сделан с точностью до 10'. То же самое относится и к наводке теодолита на ша­рик С.

Найдя разность отсчетов a, геодезист счи­тает, что, применив другой, более точный тео­долит, он мог бы получить другую разность, однако ее отличие от a не превысит 20'.

Таким образом, рассматривая абстрактный треугольник АBС с углом A, равным a, геоде­зист вправе считать, что, применяя более точ­ные приборы, он мог бы получить для угла a другую величину, лежащую в пределах от a-20' до a+20'.

Аналогично можно для углов В и С полу­чить величины b и g и найти сумму s=a+b+g.

Возникает вопрос: равна ли эта сумма 180°? Понятно, что такое совпадение маловероятно. Вспомним прежде всего, что каждая наводка теодолита выполнялась с точностью до 10'. Для определения а теодолит пришлось наводить 6 раз. Поэтому применение более точного при­бора могло бы привести к получению другой суммы, находящейся в промежутке от s-1° до s+1°.

Итак, определение суммы углов рассматривае­мого абстрактного треугольника зависит от точ­ности проведенных измерений (в данном случае от точности примененного теодолита). В нашем случае геодезист вправе рассмотреть абстракт­ный треугольник, сумма углов которого отличает­ся от найденной при измерении величины о, но не более чем на 1°.

Здесь возникает другой вопрос. Насколько измеренная сумма углов о отличается от 180°? Превосходит ли это отличие 1°? Находится ли разность между 180° и а в пределах точности примененных инструментов? Иными словами, может ли геодезист в данном случае рассмат­ривать абстрактный треугольник с суммой углов 180°?

Проанализируем возможные результаты из­мерения. Здесь имеются две возможности.

317