Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

лось измерить? Ответ на этот вопрос зависит от того, насколько точно аксиомы геометрии (а следовательно, теоремы) отображают реаль­ную действительность, насколько хорош наш геометрический слепок с реального мира.

Разумеется, может оказаться, что этот сле­пок недостаточно хорош. Тогда надо попытаться сделать лучший. Для этого надо тщательнее проанализировать опыты, на основании которых выбраны те или иные аксиомы, точнее, выбрать аксиомы. С помощью новых аксиом, более точно отображающих действительность, надо построить новую геометрию, новый, более точ­ный слепок с реального мира.

В течение двух тысячелетий считалось, что евклидова геометрия описывает мир с беспре­дельной точностью, что евклидов слепок с ре­ального мира идеален. Эта точка зрения была впервые поколеблена лишь в 1826 г. русским математиком Н. И. Лобачевским. Чтобы разъ­яснить его идеи, остановимся подробно на ана­лизе одной из самых интересных аксиом евк­лидовой геометрии.

Аксиома о параллельных

Выбрав систему аксиом, начинают доказы­вать теоремы все более и более сложные.

Весьма просто, например, с помощью тео­ремы о внешнем угле треугольника доказы­вается такая теорема:

Две прямые, перпендикулярные третьей пря­мой, не пересекаются.

Дадим теперь следующее определение:

Две прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, называются параллельными.

Пусть теперь на плоскости даны прямая а и точка А (рис. 7). Ясно, что через точку А можно провести прямую b, параллельную а. Для этого достаточно опустить из точки А перпендикуляр А В на прямую я, а затем из

точки А провести прямую b, перпендикулярную АВ. Это и будет искомая параллельная. Итак, параллельные прямые существуют!

Теперь возникает вопрос: нельзя ли через точку А провести еще одну прямую b', также параллельную прямой а? (Напомним, что все происходит на одной плоскости, т. е. мы за­нимаемся только планиметрией.) Тому, кто не думал над этим раньше, не изучал этого вопро­са, хочется немедленно и категорически отве­тить: нет, нельзя! — прямая b' пересечет пря­мую а, возможно, очень далеко, но непременно пересечет!

Воздержимся пока от столь категорического ответа и постараемся вдуматься в поставленный вопрос глубже.

Возьмем на прямой а точку С и соединим ее с точкой А прямой с. Теперь будем передвигать точку С вправо по прямой а. При этом прямая с будет поворачиваться около точки А. Ясно, что прямая с никогда не сольется с прямой b, ибо b с а не пересекается. Но прямая с, повора­чиваясь в одном и том же направлении, будет неограниченно приближаться к какому-то оп­ределенному предельному положению, когда точка С неограниченно удаляется вправо. Те­перь спросим себя: будет ли прямая b той пре­дельной прямой, к которой неограниченно при­ближается прямая с? Или, может быть, прямая с будет неограниченно приближаться к пре­дельной прямой b', отличной от b, так что пря­мая с, поворачиваясь, не сможет войти внутрь угла а. Опять хочется отвергнуть это предпо­ложение.

Однако подумаем еще. Проведем из точки А луч а под углом j<90° к прямой АВ. Если этот угол j мал, прямые а и d пересекутся на чертеже. Надо только продлить луч d. Если же теперь увеличить угол j (см. рис. 7), прямые а и d пересекутся уже не на чертеже, а где-то за полем книги. Еще немного увеличим угол j. Тогда при продолжении прямые a и d будут пересекаться дальше, скажем, на расстоянии нескольких сот метров. Ясно, что практически убедиться в этом весьма трудно, почти невоз­можно, но принципиально мыслимо.

Теперь еще увеличим угол j. Пусть он от­личается от 90°, допустим, на одну миллион­ную долю градуса. Что же теперь можно ска­зать о пересечении прямых а и d? Хочется опять их мысленно продолжить. Но так ли хорошо мыслим мы это продолжение? Не теряет ли смысл этот мысленный эксперимент? Ведь если угол j достаточно близок к 90°, то продолжать прямые придется туда, куда не удалось загля-

315