Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Преобразования как основа классификации теорем

Немецкий математик Ф. Клейн в конце прошлого столетия предложил положить гео­метрические преобразования в основу класси­фикации всех свойств геометрических фигур и тел. Он предложил различать геометриче­ские свойства по тем преобразованиям, при которых эти свойства сохраняются. К одной группе при этом будут относиться те свойства, которые сохраняются лишь при движениях фигур; сюда относятся все свойства, свя­занные с расстояниями между точками, и все теоремы, в которых фигурируют длины или площади (например, теорема: площадь тре­угольника равна половине произведения длины основания на длину опущенной на основание высоты). В другую группу попадут свойства, сохраняющиеся при преобразовани­ях подобия, например все свойства, связанные с величинами углов; к этой группе свойств относится, скажем, известное свойство прямоугольного треугольника с углом в 30° (ведь отношение длины гипотенузы к длине меньшего катета также сохраняется при пре­образованиях подобия!). Еще одну группу со­ставят свойства геометрических фигур, сохра­няющиеся при линейных преобразованиях. Далее можно будет рассмот­реть свойства фигур, сохраняющиеся при проективных преобразованиях,

и т. д. Так как линейные преобразования изме­няют свойства фигур сильнее, чем движения, то свойства, сохраняющиеся при этих преоб­разованиях, следует считать более глубокими; с этой точки зрения свойство треугольника, выражаемое теоремой: «медианы треугольника пересекаются в одной точке», оказывается бо­лее глубоким, чем, скажем, аналогичное свой­ство высот треугольника. Еще более глубокими следует считать те свойства фигур, которые сохраняются при проективных преобразовани­ях, очень сильно изменяющих фигуру.

Такая классификация геометрических тео­рем (Клейн даже говорил об отдельных «геомет­риях», охватывающих изучение свойств фигур, сохраняющихся при тех или иных преобразо­ваниях) поясняет сказанное выше об использо­вании геометрических преобразований для до­казательства теорем. Все свойства, сохраняю­щиеся при линейных преобразованиях, будут одинаковы для окружности и для эллипса; поэтому при рассмотрении их мы всегда можем ограничиться изучением окружности, являющейся частным случаем эллипса (окружность — это сечение кругового цилиндра плоскостью, параллельной основанию цилиндра). Точно так же при изучении соответствующих свойств треу­гольника мы можем считать его равносторонним,

Феликс Клейн.

при изучении свойств параллелограмма — при­нять его за квадрат и т. д. При изучении проек­тивных свойств произвольного четырехугольни­ка можно считать его квадратом, а при изучении проективных свойств конического сечения — принять это коническое сечение за окружность и т. д. Таким образом, точка зрения Клейна, выделяющая ряд отдельных ветвей геометрии, может существенно помочь при доказательстве геометрических теорем.

Как разрезать куб

Чтобы разрезать куб на 27 равных ку­биков, надо сделать 6 разрезов. Можно ли уменьшить число разрезов, если поз­волить после каждо­го разрезания пере­кладывать части?

Ответ на стр. 321.

309

Лист Мебиуса

Поверхность кольца, надеваемого на палец, имеет две стороны. Одной стороной она соприкасается с паль­цем, вторая сторона наружная. У этих сторон две границы (два края), каж­дая имеет форму окружности. Если какая-нибудь букашка захочет пере­ползти с наружной стороны кольца на внутреннюю, то она при этом не­пременно должна пересечь ту или другую границу.

Немецкий математик А. Мебиус указал простую модель поверхности совсем другого фасона — односторонней поверхности. Ее легко пригото­вить, перекрутив на пол-оборота один конец прямоугольной бумажной полоски и приклеив его к другому концу той же полоски. Эту модель с той поры так и называют: лист Мебиуса.

Чтобы наглядно удостовериться в том, что у поверхности листа Мебиу­са только одна сторона, возьмите ка­рандаш и начните последовательно закрашивать лист, не отрывая каран­даша от поверхности листа и не пересе­кая края листа. Когда вернетесь к тому месту, с которого начали, вы уви­дите, что окажется окрашенной вся поверхность листа, хотя его край вы и не пересекали ни разу.

Опыты с листом Мебиуса

Возьмите несколько листов плот­ной бумаги (например, обложки ста­рых журналов большого формата), клей, ножницы и исследуйте «поведе­ние» листа Мебиуса и других моде-

лей, изготовляемых из прямоугольных полосок бумаги, если разрезать их по линиям вдоль края.

1. Что получится, если обыкно­венное (не перекрученное) бумажное колечко разрезать вдоль его средней линии? Очевидно, два колечка, при­чем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности пер­воначально взятого колечка. А вот если лист Мебиуса мы также разре­жем вдоль его средней линии, то обра­зуется...

Проделайте и посмотрите, что получится.

2. Приготовьте второй лист Ме­биуса из достаточно широкой полоски и разрезайте его ножницами так, что­бы линия разреза все время шла вдвое ближе к левому краю первоначальной полоски, чем к правому (линия разреза обойдет лист Мебиуса дважды). Те­перь образуются два кольца, но они окажутся сцепленными. Проделайте!

А что получится, если вновь взять бумажную полоску, один ее конец перекрутить на полный оборот (на 360°), приклеить к другому концу и разрезать получившуюся модель по средней линии?

3. Надрежьте концы бумажной полоски поглубже, чем показано на ри­сунке. Склейте концы А и D. Про-

пустите конец В под А и приклейте его к Е. Пропустите конец С между В и А, а конец F между D и Е, после чего склейте концы С и F. Все склеивания концов производите пря­мо, т. е. без предварительного пере­кручивания.

Теперь каждый начатый разрез продолжайте вдоль всей модели; полу­чится интересное переплетение трех колец: любые два будут сцеплены друг с другом и оба с третьим кольцом.

Если вы ошибетесь и конец С приклеите к концу F, не пропустив С между В и А, то после указанного разрезания получится обычная цепь из трех колец.

О РАЗЛИЧНЫХ ГЕОМЕТРИЯХ

Всем хорошо известно, что выводы эле­ментарной (школьной) геометрии находят ши­рокое применение при решении самых раз­нообразных практических задач. Знания гео­метрии необходимы слесарю, инженеру, учено­му — всем, кому приходится исследовать свойства различных фигур и тел. Как же гео­метрия изучает наш реальный мир? Каждому, по-видимому, приходилось слышать выраже­ния «с математической точностью», «как дваж­ды два — четыре». Этими словами обычно принято характеризовать абсолютно точное и неоспоримое. Ниже мы попытаемся выяснить, с какой точностью геометрические теоремы от­ражают действительное положение вещей в на­шем мире. Действительно ли эта точность бес­предельна?

Для того чтобы ответить на эти вопросы, нам понадобится внимательно проанализи­ровать, как строится наука геометрия и как эта наука изучает реальный мир.

С чего начинается изучение геометрии

В учебнике геометрии постоянно изучаются геометрические объекты различной сложности: треугольники, трапеции, параллелограммы, призмы, пирамиды, сферы и т. п., которые дол­жны быть точно охарактеризованы. Это делает­ся в так называемых определениях. Для того чтобы полностью разобрать то или иное произвольно взятое определение, надо знать определения, изложенные в учебнике ра­нее. Например, чтобы понять определение тра­пеции, надо заранее знать определение па­раллельности прямых, определение четырех­угольника, а для этого надо знать определение отрезка. Последнее требует знания того, что такое прямая и точка.

Всякое другое определение точно так же в конце концов приводит нас к первой страни­це учебника геометрии, где мы надеемся найти определения основных геометрических понятий: точки, прямой, плоскости.

Но, увы, нас ожидает разочарование. Ока­зывается, что и здесь нет точных математиче­ских определений точки, прямой и плоскости. В то же время все дальнейшие определения, которые опираются на эти основные геометри­ческие понятия, сформулированы с полной математической строгостью. Такое положение на первый взгляд может показаться весьма странным.

Правда, в начале учебника даются некото­рые пояснения того, что же мы понимаем под точкой, прямой и плоскостью. Пояснения эти, однако, ни в какой мере не могут служить точ­ными математическими определениями. Кроме того, эти пояснения нигде далее в геометрии не используются. Они совершенно не нужны для доказательства теорем. Важным является лишь указание на то, что в дальнейшем будут изу­чаться именно точки, прямые и плоскости.

Что же такое точка, прямая и плоскость?

Отметим сразу же, что нигде в природе не встречаются точки, прямые и плоскости.

Представим себе шарик малого диаметра, скажем в 1 мм. Уменьшим его диаметр вдвое, втрое, ..., в тысячу раз и т. д. Наступит ли мо­мент, когда уже весьма малый шарик можно будет назвать точкой? Нет!

Учитель ставит на доске весьма «жирную» точку. Ученики рисуют в тетради тоже весьма крупные точки. На самом же деле каждый раз изображаются маленькие кружочки. Но точки ли это? Звезды на небе тоже нам представля­ются «точками», хотя некоторые из них во много раз больше Солнца. А если представить себе шарик столь малым, что его нельзя увидеть ни в один современный микроскоп,— будет ли это точка? Опять нет.

Дело в том, что точка — это не какой-то конкретный предмет. Точка — это абстракт­ное понятие, которое образовано на­шим сознанием в результате длительного изуче­ния весьма малых (или кажущихся малыми при определенных условиях) реальных объек­тов — шариков, кружочков и т. п. Это абстрактное понятие точки наделяется нами целым рядом свойств, общих для тех конкрет­ных предметов, в результате наблюдения над которыми и возникло понятие точки.

311