Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Рис. 29.

эллипс S' получился линейным преобразованием (скажем, центральным проектированием) из окружности S. Середины всех параллельных между собой хорд окружности принадлежат одной прямой, проходящей через центр О окружности и перпендикулярной проведенным хордам (рис. 29, а). При линейном преобразо­вании параллельные между собой хорды окруж­ности S переходят в параллельные хорды эллипса S', а диаметр d окружности, делящий ее хорды пополам,— в диаметр d' эллипса, делящий попо­лам параллельные хорды эллипса (рис. 29, b).

Проективные преобразования

Рассмотрим теперь тень, отбрасываемую вы­резанной из картона фигурой, помещенной под электрической лампочкой, на поверхность стола, не обязательно параллельную плоскости фигуры (рис. 30). Эта тень может очень сильно отличаться от исходной фигуры — однако начер­ченная на фигуре прямая линия перейдет при этом снова в прямую.

Здесь мы имеем дело с центральным проектированием фигуры из точки на плоскость стола, переводящим каждую точку фигуры в точку пересечения прямой с плоскостью стола.

Цент­ральное проектирование доставляет нам пример проективного преобразования. Проективные преобразования гораздо сильнее меняют свойства фигур, чем линейные; так, квадрат ABCD они могут перевести в произ­вольный четырехугольник A'B'C'D' (рис. 31). Однако и здесь можно указать ряд свойств гео­метрических фигур, сохраняющихся при цен­тральных проектированиях, и воспользоваться

этим для вывода интересных свойств произволь­ных четырехугольников из свойств квадрата. Проективные преобразования переводят окружность в так называемые конические сечения. Это название связано с тем, что если центральное проектирование с центром О переводит окружность S в фигуру S', то S' представляет собой плоское сечение кругового конуса с вершиной О (рис. 32). Можно дока­зать, что к числу конических сечений принад­лежат как рассмотренный выше эллипс, так и изучаемые в средней школе гипербола (график обрат­ной пропорциональ­ной зависимости) и парабола (гра­фик функции y=х2). Используя это об­стоятельство , а также общие свойства про­ективных преобразо­ваний, можно дока­зать, что гипербола и парабола обладают рядом интересных свойств, родственных свойствам окруж­ности и эллипса.

Рис. 32. образование конических сечений

308