Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

однако те свойства, которые сохраняются при линейных преобразованиях, совпадают у квад­рата и у параллелограмма. Выберем произ­вольную точку Е на диагонали АС квадрата ABCD и проведем через нее отрезки MN ? АВ и PQ?ВС (рис. 23, а). Нетрудно видеть, что прямая А С явится осью симметрии по­лученного чертежа; поэтому прямые MQ и PN (симметричные относительно прямой АС!) пересекутся на прямой АС. А отсюда вытекает, что и отрезки M'N'?А'В' и P'Q'?В'С', пересекающиеся на диагонали А'С' паралле­лограмма A'B'C'D', отсекают от паралле­лограмма меньшие параллелограммы M'D'Q'E' и N'B'P'E', диагонали M'Q' и N'P' кото­рых пересекаются на прямой А'С' (рис. 23, б). Доказать это, не пользуясь линейными пре­образованиями, было бы затруднительно!

Рассмотрим еще и такой пример. Ясно, что каждый треугольник АВС можно параллельным проектированием перевести в равносто­ронний треугольник АБС' (рис. 24; тре­угольники АBС' и ABC расположены в раз­ных плоскостях; СС ' направление проекти­рования). При этом медианы треугольника АBС переходят в медианы треугольника АBС' (это следует из свойств параллельного проекти­рования). Но медианы равностороннего тре­угольника являются одновременно и бис­сектрисами; поэтому они пересекаются в одной точке — центре окружности, вписанной в тре­угольник АBС'. А отсюда следует, что также и медианы исходного треугольника АBС пере­секаются в одной точке. Это доказательство теоремы о точке пересечения медиан треуголь­ника является, вероятно, простейшим!

Сколько разверток у куба?

Чтобы изготовить модель многогранника из куска картона, надо прежде всего начертить раз­вертку требуемого многогранника. На рисунке изо­бражена правильная пирамида, все грани которой — равносто­ронние треугольники, и две развертки такой пирамиды. Сгибая каждую развертку по пунктирным линиям, можно по­строить модель пирамиды. Ка­кие-либо другие формы развер­ток пирамиды, все грани кото­рой равносторонние треуголь­ники, невозможны. Куб в этом смысле богаче: у него более де­сятка разверток различных форм. А сколько же все-таки точно? Начертите все развертки куба.

Решение на стр. 321.

Эллипс

Вот еще пример на использование свойств линейных преобразований. Линейное преоб­разование уже не переводит окружность снова в окружность — оно переводит ее в другую линию, называемую эллипсом (рис. 25). Эллипс можно определить как линию, получаю­щуюся при сечении кругового цилиндра про­извольной плоскостью (рис. 26); это означает, что эллипс образуется из окружности в резуль­тате параллельного проектирования.

Заметим, что центр О окружности S яв­ляется ее центром симметрии, т. е. что все проходящие через О хорды окружности S делятся этой точкой пополам (рис. 27, а). Линейные преобразования не сохраняют отно­шения длин отрезков, принадлежащих разным прямым; поэтому проходящие через точку О радиусы окружности S переходят в «радиусы» эллипса S', пересекающиеся в одной точке О', но уже не равные между собой (рис. 27, б). Но отношение длин отрезков, принадлежащих одной прямой, при линейном преобразовании сохраняется, и поэтому все проходящие через точку О' хорды эллипса S' делятся в этой точке пополам. Таким образом, мы убеждаемся, что каждый эллипс S' обладает центром сим­метрии О'; эту точку О' часто называют про­сто центром эллипса.

Число примеров подобного рода можно увели­чить. Проведем из точки М к окружности S каса­тельные МА и MB (рис. 28. а). Мы знаем, что МА=MB; что ОМ^АВ, где О — центр окружности S', что АК=КВ, где К — точка пересечения ОМ и АВ (все эти факты следуют из того, что прямая ОМ есть ось симметрии; см. рис. 28, а). Равен­ство отрезков МА и МB не может быть перене­сено на эллипс (отношение длин отрезков, при­надлежащих разным прямым, не сохра­няется при параллельном проектировании); перпендикулярность прямых ОМ и АВ также характерна именно для окружности (углы не сохраняются при линейных преобра­зованиях). А вот то обстоятельство, что отрез­ки АК и КB, принадлежащие одной прямой, равны между собой, имеет место и в случае эллипса: если из внешней точки М' провести к эллипсу S' с центром О' касательные М'А' и М'В', то прямая О'М' разделит хорду А'В' пополам (рис. 28, б).

Докажем еще, что середины всех параллель­ных между собой хорд эллипса принадлежат одной прямой, проходящей через центр эллипса (диаметр у эллипса). В самом деле, пусть наш

307