Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Одним из видов «движения» является симметрия. Фигуры, которые в результате «движения» переходят в себя, называются симметричными. На рисунке изображены фигуры, обла­дающие осевой, центральной симметрией и симмет­рией порядка n (говорят, что фигура обладает сим­метрией порядка и, если она переходит в себя при повороте вокруг точки — центра симметрии на угол

360° /n). Определите, к какому из этих трех видов симметрии относится каждая фигура, найдите ось или центр симметрии, а для фигур с симметрией порядка т найдите это число.

Кривые линии, которые получаются при пере­сечении поверхности прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину, называются кривыми второго порядка или коническими сечениями. Конические сечения могут быть трех типов:

1) Секущая плоскость пересекает все обра­зующие конуса в точках одной ее полости, линия пересечения есть замкнутая овальная

линия — эллипс; окружность как частный слу­чай эллипса получается, когда секущая пло­скость перпендикулярна оси конуса.

2) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; в сечении по­лучается незамкнутая уходящая в бесконеч­ность кривая — парабола, целиком лежащая в одной полости.

3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; линия пересечения — гипербола, состо­ит из двух одинаковых незамкнутых прости­рающихся в бесконечность частей (ветвей ги­перболы), лежащих на обеих полостях конуса.

На рисунках внизу изображены линии, кото­рые описывает точка круга, когда он катится по прямой линии. При этом точка окружности описывает линию с остриями — циклоиду. Вся­кая точка внутри круга описывает линию без остриев — укороченную циклоиду. А если точ­ка закреплена вне круга на продолжении его радиуса, то она описывает линию с петлями — удлиненную циклоиду.

ко некоторое сходство между фигурой F и ее тенью F' и тут сохранится. Так, например, каждая, прямая, проведенная в плоскости фи­гуры F, перейдет снова в прямую линию (рис. 21); параллельные прямые перейдут в параллельные прямые; отношение длин отрез-

Рис. 21. Параллельное проектирование.

ков, принадлежащих одной прямой (но не раз­ным прямым!), при параллельном проектировании сохранится (см. рис. 21, где AB/BC=A'B'/B'C').

Квадрат ABCD параллельное проектирование уже не переведет в квадрат; однако оно переве­дет его в параллелограмм, который отличается от квадрата не так уж резко.

Геометрические преобразования, обладаю­щие такими свойствами, называются линей­ными преобразованиями. К чис­лу линейных преобразований относится, напри­мер, так называемое сжатие к прямой l, которое описывается так: точку А плоскости сжатие к прямой l переводит в такую точку А', что точки А и А' лежат на одном перпендикуляре к прямой l и PA'/PA=k: где Р — основание перпендикуляра (рис. 22). Постоянное

Рис. 22, Сжатие к прямой.

число k называется коэффициентом сжатия к прямой (при k>l было бы правильнее говорить о «растяжении» от прямой l). Не­трудно убедиться, что сжатие к прямой также переводит прямую линию снова в прямую, па­раллельные прямые переводит в параллельные, сохраняет отношения длин отрезков, принад­лежащих одной прямой.

Знание свойств, сохраняющихся при линей­ных преобразованиях, позволяет использовать эти преобразования для доказательства неко­торых геометрических теорем. Разумеется, квадрат ABCD и получающийся из него параллельным проектированием параллелограмм A'B'C'D' имеют много разных свойств;

305