Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.
Самая подробная информация печать дисков у нас.

фигуру F' говорят, что она получается рассматриваемым преобразованием из фигуры F (рис. 14).

Движения представляют собой простейшие гео­метрические преобразования — такие, которые пе­реводят каждую фигуру F в равную ей фигуру F', т. е. сохраняют форму и размеры фигур.

Преобразования подобия

Преобразования, сохраняющие форму фигур, но, возможно, изменяющие их размеры, называ­ются преобразованиями подобия. Каж­дую фигуру F преобразование подобия переводит в подобную ей фигуру F', представляющую собой увеличенную или уменьшенную копию пер­воначальной фигуры; все размеры фигуры F' равны соответствующим размерам фигуры F, умножен­ным на одно и то же число k (рис. 15). Это

Рис. 15. Подобные фигуры.

число называется коэффициентом подо­бия двух фигур. Подобные фигуры можно по­лучить, например, поместив под лампой вырезан­ную из куска картона фигуру F, плоскость ко­торой параллельна поверхности стола; в таком случае тень F', отбрасываемая этой фигурой на стол, будет подобна F (рис. 16). Более «математический» пример преобразования подо­бия представляет собой гомотетия с центром О и коэффициентом k, переводящая каждую точку А в такую точку А' луча ОА, что

OA'/OA=k (рис. 17).

Некоторые свойства фигуры F', подобной фигуре F, будут отличаться от свойств фигуры F; так, например, гомотетия с коэффициентом 2 переводит фигуру ABCD в фигуру

A'B'C'D', площадь которой в 4 раза больше площади фигуры ABCD (рис. 17). Но большин­ство свойств фигуры F' будет совпадать со свойст­вами фигуры F: так, все имеющиеся на фигуре F' углы будут равны соответствующим им углам, име­ющимся на фигуре F; отношение расстояний между какими-либо точками фигуры F' будет равно отно­шению расстояний между соответственными точка­ми фигуры F (см. рис. 15, где, скажем, AB/CD=A'B'/C'D')

и т. д. Таким образом, преобразования подобия меняют свойства геометрических фигур очень

Три геометрические головоломки

1 Не вычисляя площадей треугольников со сто­ронами а=5, b=5, с=b, a1=5, b1=5, с1=8, вы­яснить, равновелики ли они.

2 Найти три равновеликих прямоуголь­ных треугольника при условии, что все 9 сторон — различные целые числа.

3 Трех плоских разрезов достаточно, чтобы пере­строить этот брусок в куб.

Как добиться наименьшего возможного числа частей, на которые распадается брусок? Ответы на стр. 321.

303

мало: окружность они переводят снова в окружность, квадрат — в квадрат, равнобедрен­ный треугольник с углом при вершине в 40° — снова в равнобедренный треугольник с углом при вершине в 40° и т. д.

Эти свойства преобразований подобия ино­гда могут быть использованы для решения со­держательных геометрических задач. Поста­вим, например, такую задачу: определить, что представляет собой множество середин всех

отрезков AM, где точка А фиксирована, а точ­ка М пробегает, скажем, равностороннюю ги­перболу G (график обратной пропорциональной зависимости). Очевидно, что искомое множе­ство точек образует фигуру G', гомотетичную гиперболе G с центром гомотетии А и коэффициен­том гомотетии 1/2. Отсюда следует, что это будет точно такая же гипербола, только в 2 раза «меньшая» (такая, что расстояние между двумя точками гиперболы G' в 2 раза меньше рас­стояния между соответствующими точками ги­перболы G; рис. 18).

Линейные преобразования

Рассмотрим тень, отбрасываемую на солн­це вырезанной из картона фигурой F на плоскость a, не обязательно параллель­ную этой фигуре (рис. 19). Геометрически пе­реход от фигуры F к ее тени F' описывают как параллельное проектирование, переводящее каждую точку А фигуры F в такую точку А ' плоскости a, что АА'? а, где а — заданная прямая, характеризующая на­правление проектирования (ибо лучи солнца можно считать параллельными).

Фигура F' может значительно отличаться от первоначальной фигуры F; так, каждый знает, насколько сильно искажены на тени истинная форма и размеры предметов, если солнце стоит достаточно низко (рис. 20). Одна-

304