Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

мана (в узком смысле слова, в отличие от общих римановых геометрий). В этой геомет­рии, так же как в геометрии Лобачевского, нет подобных фигур, но сумма углов треугольника в ней всегда больше 2d, а длины прямых линий ограничены.

Были предложены и другие методы построе­ния новых геометрий.

Но в связи с новыми геометриями встали и другие вопросы: геометрия Лобачевского отли­чается от евклидовой постулатом о параллель­ности. Что будет, если заменять и другие по­стулаты? Всегда ли при этом будут получаться новые системы геометрии? В каких случаях новые системы будут непротиворечивыми, т. е. в них нельзя доказать некоторую теорему и одновременно доказать, что эта теорема неверна?

Для ответа на эти вопросы ученые прежде всего вновь обратились к исследованию геомет­рии Евклида с тем, чтобы найти все аксиомы, нужные для ее построения, а затем уже изучить связи между этими аксиомами, посмотреть, что будет, если отбросить одну или несколько из них и заменить другими. Многие математи­ки конца прошлого века занимались этой проблемой, но впервые ее удалось решить немецкому математику Д. Гильберту в 1899 г. В его книге «Основания геометрии» была из­учена первая полная система аксиом геомет­рии Евклида и исследованы вопросы, о кото­рых мы говорили выше. Это направление иссле­дований привело к созданию современного аксиоматического метода, значение которого трудно переоценить.

Неевклидовы геометрии открыли новую эру не только в математике, но и в физике. Как и предвидели создатели этих геометрий, они сде­лались незаменимым математическим аппара­том многих важнейших частей современной физики, особенно теории относительности.

Более подробно о новых геометриях вы можете узнать из статьи «О различных гео­метриях».

Итак, мы видим, что возникновение геомет­рии как науки далеко не закончилось построе­нием системы евклидовой геометрии. Это было только начало, блестящее продолжение которого осуществилось в XIX в.

В настоящее время геометрия представляет большую, широко разветвленную науку, тесно связанную со всеми остальными разделами ма­тематики.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Что такое геометрия

Прежде чем завести разговор о геометриче­ских преобразованиях, остановимся на вопросе о самом содержании предмета геометрии; впо­следствии мы увидим, что к понятию геометри­ческого преобразования этот вопрос имеет са­мое непосредственное отношение.

Геометрия изучает свойства плоских фигур и пространственных тел. Однако в геометрии рассматриваются вовсе не все свойства фигур или тел. Ясно, например, что цвет или вес тела для геометра безразличен — геометрические свой­ства куба останутся одними и теми же незави­симо от того, идет ли речь о металлическом кубе или о кубе, сделанном из фанеры и окрашен­ном в красный цвет. (Заметим, что физиче­ские свойства этих двух кубов во многом будут различны.) Также и расстояние от вер-

шины изображенного на доске треугольника до края доски не интересует геометра. Один из двух равных между собой треугольников (рис. 1) расположен заметно ближе к краю MQ доски, чем второй; однако все геометрические свойства этих треугольников — их соответствен­ные стороны, углы, высоты, медианы, площади, радиусы вписанной и описанной окружностей, расстояние от центра описанной окружности до точки пересечения медиан и т. д.— будут оди­наковыми. Как же охарактеризовать тот круг свойств фигур и тел, который интересует геометра?

299