Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Впервые в печати решение вопроса появи­лось в работе Н. И. Лобачевского в 1829 — 1830 гг. (эта работа была доложена Лобачев­ским в Казанском университете еще в 1826 г.), и несколько позже — в 1832 г.— было опубли­ковано исследование Бояи. Гаусс вообще не опубликовал те смелые выводы, к которым пришел.

Новая идея, которая легла в основу решения, состояла в следующем: геометрия Евклида не является единственной возможной геометрией, можно построить и другие системы геометрии, столь же стройные и непротиворечивые, как евкли­дова. При этом и Н. И. Лобачевский, и К. Ф. Гаусс были глубоко убеждены, что новая геометрия получит применение для описания и изучения геометрических свойств нашего пространства.

Такой взгляд противоречил двухтысячелетней традиции, благодаря которой сложилось убеждение, что геометрия Евклида столь же естественна, как смена дня и ночи, и что толь­ко она описывает пространственные соотно­шения между реальными телами.

Как же строить новые геометрические систе­мы? В XVIII в. геометры придумали новый способ доказательства V постулата. Они пред­полагали, что V постулат неверен, и старались прийти к противоречию, как это делается при доказательствах от противного. Действитель­но, если V постулат можно вывести из других постулатов и аксиом геометрии Евклида, т. е. он является теоремой, то предположение, что он неверен, должно было бы привести нас к противоречию. Однако как ни пытались гео­метры получить противоречие, им этого сделать не удавалось. Они получали все новые и новые следствия; некоторые из них выглядели пара­доксально, например: сумма углов треуголь­ника у различных треугольников различна, но всегда меньше 2d; линия, равноотстоящая от некоторой прямой (эквидистанта), сама не яв­ляется прямой; не существует подобных тре­угольников и вообще подобных фигур. Однако ни одно из следствий не противоречило другому следствию и остальным аксиомам евклидо­вой геометрии.

Лобачевский, Гаусс и Бояи пришли к убеж­дению, что противоречия и не получится, по­тому что V постулат не является теоремой в евклидовой геометрии. Что же в таком случае представляют полученные следствия? Оказы­вается — теоремы новой геометрии! Таким обра­зом, для построения новой геометрии нужно было заменить V постулат другим и вывести из новой системы постулатов и аксиом возможные следствия. Они-то и будут теоремами но­вой геометрии.

V постулату Евклида часто придают такую форму: через точку вне прямой в плоскости, определяемой этой точкой и этой прямой, мож­но провести только одну прямую, не пересе­кающую данной.

Если этот постулат не имеет места, то это означает, что: 1) либо можно провести по край­ней мере две прямые, не пересекающие данной (рис. 3), 2) либо таких прямых не существует вовсе (т. е. вообще нет параллельных прямых).

Второе из этих предположений легко при­водится к противоречию с другими аксиомами и постулатами Евклида. Первое же Н. И. Ло­бачевский выбрал в качестве нового постулата о параллельности. Он построил стройную систе­му геометрии, которая носит теперь его имя. При этом Н. И. Лобачевский показал, что гео­метрия Евклида может быть получена как пре­дельный случай новой геометрии.

Исследования Н. И. Лобачевского открыли новую эру в истории геометрии. Если до этого казалось, что в основном в геометрии все сде­лано уже самим Евклидом, то после создания неевклидовой геометрии открылись широкие возможности для новых геометрических изысканий.

В 60-х годах прошлого века немецкий математик Риман предложил новый метод построения всех неевклидовых геометрий, в которых можно мерить длины, площади, углы, объёмы (так называемых метрических геометрий). При этом он не ограничился случаем трехмерного пространства, а строил геометрии пространств любого числа измерений. Интересно отметить, что, в частности, он построил такую геометрию, в которой нет параллельных прямых. Конечно, для построения такой геометрии пришлось отказаться от некоторых других аксиом ев­клидовой геометрии.

Эта геометрия похожа на сферическую, ее называют эллиптической или геометрией Ри-

298