Рис. 2. Правильные многогранники.
шел в математику. В этом смысле все последующие математики, вплоть до наших современников, являются учениками Евклида.
При построении дедуктивной системы геометрии выяснилось, что доказательства служат не только для того, чтобы установить истинность некоторого предложения, но и для выявления взаимосвязей между предложениями. Так, при анализе доказательства предложения о том, что сумма углов треугольника равна 2d, оказалось, что оно зависит от V постулата Евклида, тогда как, например, теорема о том, что внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, с ним не смежного, от постулата параллельности не зависит.
Таким образом, доказательства помогают уяснить существо, смысл математических предложений. В частности, можно в евклидовой геометрии выделить все те предложения, которые доказываются без постулата параллельности,— они составляют так называемую абсолютную геометрию.
Постулат о параллельных и неевклидовы геометрии
Математики все время испытывали некоторую неудовлетворенность, связанную с постулатом о параллельности, который, как мы видели, формулировался довольно сложно. Казалось, что его можно доказать, вывести из других постулатов и аксиом. Начиная с глубокой древности и до конца XVIII в. многие геометры пытались доказать этот постулат как теорему.
Однако все доказательства V постулата, которые были придуманы, либо содержали прямую ошибку, либо опирались на новое предложение, которого не было среди постулатов и аксиом Евклида. При более тщательном анализе всегда оказывалось, что это новое предложение равносильно постулату о параллельности, т. е. из него можно вывести этот постулат и, наоборот, из V постулата можно получить это новое предложение. К началу XIX в. вопрос о V постулате казался безнадежно запутанным. Но как раз в 20-х годах прошлого века было получено совершенно неожиданное решение этого многовекового вопроса. Это решение было связано с совершенно новым взглядом на геометрию, к которому пришли независимо друг от друга три великих геометра: Н. И. Лобачевский, К. Ф. Гаусс и Я. Бояи.
297