Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Рис. 2. Правильные многогранники.

шел в математику. В этом смысле все последую­щие математики, вплоть до наших современни­ков, являются учениками Евклида.

При построении дедуктивной системы гео­метрии выяснилось, что доказательства служат не только для того, чтобы установить истин­ность некоторого предложения, но и для выяв­ления взаимосвязей между предложениями. Так, при анализе доказательства предложения о том, что сумма углов треугольника равна 2d, оказалось, что оно зависит от V постулата Ев­клида, тогда как, например, теорема о том, что внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, с ним не смежного, от постулата параллельности не зависит.

Таким образом, доказательства помогают уяснить существо, смысл математических пред­ложений. В частности, можно в евклидовой геометрии выделить все те предложения, ко­торые доказываются без постулата параллель­ности,— они составляют так называемую абсолютную геометрию.

Постулат о параллельных и неевклидовы геометрии

Математики все время испытывали неко­торую неудовлетворенность, связанную с по­стулатом о параллельности, который, как мы видели, формулировался довольно сложно. Ка­залось, что его можно доказать, вывести из других постулатов и аксиом. Начиная с глубо­кой древности и до конца XVIII в. многие геометры пытались доказать этот постулат как теорему.

Однако все доказательства V постулата, которые были придуманы, либо содержали пря­мую ошибку, либо опирались на новое пред­ложение, которого не было среди постулатов и аксиом Евклида. При более тщательном ана­лизе всегда оказывалось, что это новое пред­ложение равносильно постулату о параллель­ности, т. е. из него можно вывести этот постулат и, наоборот, из V постулата можно получить это новое предложение. К началу XIX в. воп­рос о V постулате казался безнадежно запутан­ным. Но как раз в 20-х годах прошлого века было получено совершенно неожиданное реше­ние этого многовекового вопроса. Это решение было связано с совершенно новым взглядом на геометрию, к которому пришли независимо друг от друга три великих геометра: Н. И. Лоба­чевский, К. Ф. Гаусс и Я. Бояи.

297