Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

вость подкреплялась многовековым опытом. Усилия многих геометров были направлены на то, чтобы отыскать все аксиомы, необхо­димые для построения геометрии. Система, в которой каждое предложение выводится на основании логических правил из конечного числа предложений, принятых без доказатель­ства, и получила название дедуктивной.

Первую такую систему геометрии — «Нача­ла» — пытался построить еще в V в. до н. э. Гиппокарт Хиосский. Было еще несколько попыток такого рода, но наиболее совершенная из них знаменитые «Начала» Евклида, которые были написаны около 300 г. до н. э. и слу­жили в течение более 2 тыс. лет образцом математической строгости.

Евклид разделил предложения, принятые без доказательства, на аксиомы и постулаты. В качестве постулатов он выбрал предложения, в которых утверждалась возможность выпол­нения некоторых простейших геометрических построений, например: 1) через две точки всег­да можно провести прямую линию, 2) из данной точки данным радиусом можно описать окруж­ность. Как нетрудно видеть, это именно те построения, которые можно сделать с помощью циркуля и линейки. Всякое построение в гео­метрии Евклида осуществляется с помощью последовательного выполнения простейших по­строений: проведения прямых, окружностей и отыскания их точек пересечения, поэтому геометрия Евклида есть геометрия циркуля и линейки.

Среди постулатов Евклида особое место за­нимает так называемый V постулат о парал­лельности. В «Началах» он формулируется так: если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних

односторонних углов меньше 2d, то при про­должении прямые пересекутся с той стороны, где эта сумма меньше 2d (рис. 1). Этот постулат сыграл огромную роль в дальнейшем развитии геометрии, о чем мы будем говорить дальше.

Кроме постулатов, Евклид принял также некоторые общие предложения — аксиомы: 1) две величины, порознь равные третьей, равны между собой; 2) если к равным величинам при­бавить равные, то и суммы будут равны; 3) це­лое больше части и др.

На основе своих постулатов и аксиом Евклид развил всю планиметрию, а с ее помощью по­строил элементы алгебры и учение о квадратных уравнениях. В его сочинении содержатся также общая теория отношений, которая применяется в учении о подобии, теория чисел, метод опреде­ления площадей и объемов и основы стереометрии. Венчает «Начала» учение о правильных вы­пуклых многогранниках, т. е. таких, все грани которых являются равными правильными много­угольниками и все многогранные углы при верши­нах тоже правильные и равные. Евклид доказал, что существует пять правильных многогран­ников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр — и никаких других правильных мно­гогранников не существует (рис. 2).

Можно сказать, что в «Началах» Евклида были заложены основы не только геометрии, но и всей античной математики.

На новую, более высокую ступень исследо­вания основ геометрии ученые поднялись толь­ко в XIX в. Тогда было выяснено, что Евклид перечислил не все аксиомы, которые на самом деле нужны для построения геометрии. В дей­ствительности при доказательствах он ими пользовался, хотя и не формулировал их. Однако все это нисколько не умаляет роли Евклида, который первым показал, как можно и как нужно строить математическую теорию. Созданный им дедуктивный метод прочно во-

296