Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

вестно только, что Пифагор переселился около середины VI в. до н. э. с острова Самос в Южную Италию (так называемую Великую Грецию), где находились богатые греческие города-коло­нии, и основал там союз, имевший и политиче­ские и научные цели. Мы знаем выдающихся математиков V в. до н. э., которые называли себя пифагорейцами, Поэтому у нас есть все основания говорить о пифагорейской математи­ческой школе, хотя мы не знаем в точности, какие открытия были сделаны самим Пифагором, а какие принадлежат его последователям.

Что же сделали пифагорейцы в геометрии? Прежде всего они начали строить геометрию как абстрактную науку, изучающую общие свойства неких идеальных фигур, которые «в чистом виде» в природе не встречаются. Так в геометрию были введены линии, имею­щие только длину, но не имеющие ширины; точки, не имеющие ни длины, ни ширины; фигу­ры, составленные из таких линий, и т. д. Эти новые геометрические объекты являются от­влечениями, абстракциями от формы реальных физических тел. Например, прямая линия могла возникнуть как абстракция от формы туго на­тянутой веревки, струны, луча света и т. п. Но ясно, что мы никогда не сможем построить от­резок идеальной прямой: как бы точно мы его ни вычертили тушью или мелом, стоит только посмотреть на рисунок в сильную лупу, чтобы убедиться, что это вовсе не отрезок прямой, а неровная палочка из туши или мела.

Создание отвлеченных геометрических поня­тий было вовсе не легким делом. Далеко не все мыслители древности понимали их пользу. Так, например, софист Протагор не признавал геометрических абстракций. Он говорил, что никто не видел линий без ширины, не видел, чтобы круг касался линейки только в одной точке — касание всегда будет происходить по маленькому отрезочку, поэтому таких вещей и не существует.

Однако новая точка зрения на геометрию позволила в очень короткий срок добиться та­ких удивительных результатов, что большин­ство ученых признали эти абстракции и нача­ли с ними оперировать. Как же они это делали? Как вообще можно изучать свойства тех идеаль­ных фигур, с которыми имеет дело геометрия?

Величайшим достижением древних греков было то, что они создали метод для изучения геометрических абстракций, введя в математи­ку логические доказательства.

Рассмотрим, например, как можно установить, что сумма углов треугольника точно равна 2d.

Непосредственным измерением это сделать нельзя, во-первых, потому, что на практике мы никогда не имеем дела с идеальными треуголь­никами, и, во-вторых, потому, что измерение углов на практике всегда производится с определенной степенью точности, например с точностью до 1' или 1".

Но если бы даже мы и могли измерять иде­альные треугольники (с помощью идеальных инструментов!), то и тогда мы не могли бы уста­новить теорему о сумме углов любого треугольника, потому что различных треугольников бесконеч­но много, невозможно перебрать их все!

Но все сказанное можно дословно повторить и о любой другой теореме: она относится не к одной определенной геометрической фигуре (на­пример, к треугольнику со сторонами 3, 4, 5), а к целому классу фигур (например, ко всем треугольникам, или ко всем прямоугольным треугольникам, или ко всем равнобедренным треугольникам), причем каждый такой класс состоит из бесконечного множества отдель­ных фигур.

Древнегреческие ученые понимали, что уста­новить правильность какого-нибудь свойства для всех фигур некоторого класса можно толь­ко с помощью логического доказательства. Но как построить такую систему геометрии, в ко­торой все правильные предложения можно бы­ло бы доказать? И можно ли построить такую систему?

Построение дедуктивной системы

Во-первых, ясно, что все правильные пред­ложения доказать нельзя. Действительно, вспом­ним, как доказываются геометрические пред­ложения. При этом обычно опираются на неко­торые другие предложения, которые были до­казаны раньше. Эти предложения в свою очередь доказываются ссылками на какие-то третьи теоремы и т. д. Эти ссылки мы могли бы про­должать до бесконечности, и процесс доказа­тельства при этом никогда бы не закончился. Как же быть? Это обстоятельство заметили еще в древности, о нем говорил, например, Ари­стотель (IV в. до. н. э.). И вот геометры при­шли к удивительно смелой мысли, что все гео­метрические свойства тел нашего пространства можно вывести из небольшого числа основных предложений — аксиом. Эти предложения принимались без доказательств, их справедли-

295