Форму разнообразных геометрических фигур имеют все архитектурные и строительные конструкции.
1. Радиомачта, каждая секция которой представляет собой однополостный гиперболоид.
2. Мост с параболической (слева) и эллиптической арками.
3. Газгольдеры шарообразной формы.
4. Заводские трубы — усеченные конусы.
5. Поезд делает поворот по переходной кривой:
а) схема переходной кривой,
б) переходная кривая — спираль Корню,
в) переходная кривая — лемниската Бернулли,
г) переходная кривая — кубическая парабола.
Полуправильные выпуклые многогранники. Их грани — правильные многоугольники разных наименований, а все многогранные углы равны между собой.
Всего существует тринадцать вполне определенных полуправильных многогранников (они были известны Архимеду, поэтому их также называют телами Архимеда) и еще две бесконечные серии так называемых призм и антипризм Архимеда.
На рисунке изображены все тринадцать типов полуправильных многогранников: 1) усеченный тетраэдр (грани — правильные треугольники и шестиугольники), 2) кубооктаэдр (грани — правильные треугольники и квадраты), 3) усеченный октаэдр (грани — квадраты и правильные шестиугольники), 4) усеченный куб (грани — правильные треугольники и восьмиугольники), 5) икосододекаэдр (грани — правильные треугольники и пятиугольники), 6) усеченный икосаэдр (грани — правильные пятиугольники и шестиугольники) 7) ромбокубоэктаэдр (грани — правильные треугольники и квадраты), 8) плосконосый куб (грани — правильные треугольники и квадраты), 9) усеченный додекаэдр (грани — правильные треугольники и десятиугольники), 10) ромбоикосододекаэдр (грани — правильные треугольники, пятиугольники и квадраты), 11) усеченный кубооктаэдр (грани — квадраты, правильные шестиугольники и восьмиугольники), 12) плосконосый додекаэдр (грани — правильные треугольники и пятиугольники), 13) усеченный икосододекаэдр (грани — квадраты, правильные шестиугольники и десятиугольники).
На всех чертежах показаны также правильные многогранники, из которых усечением получаются полуправильные.
Подсчитайте, сколько каких граней имеет каждое из тел Архимеда, сколько вершин, сколько ребер. Правильность этого подсчета можно проверить по формуле Эйлера, верной для всякого выпуклого многогранника
Г+В-P=2,
где Г — количество граней, В — количество вершин, Р — количество ребер.
шие волны, потом они принимают самую причудливую геометрическую форму, сталкиваясь между собой, обгоняя друг друга, попадая в узкие проливы или на отмели, ударяясь о стенки молов и причалов. Формы поверхности этих волн приходится изучать в физике и механике, так как на основе этого изучения проектируются корпуса кораблей, наименее подверженные качке, а также наиболее прочные стенки волнорезов и набережных, успешно сопротивляющиеся ударам волн.
Во многих случаях наблюдения над явлениями природы помогают человеку в решении его технических задач. Достаточно сказать, что на заре развития авиации наш знаменитый ученый Н. Е. Жуковский, которого В. И. Ленин назвал «отцом русской авиации», и С. А. Чаплыгин исследовали полет птиц, чтобы сделать выводы относительно наивыгоднейшей формы крыла самолета и условий его полета.
Из всего сказанного видно, какую важную роль в нашей жизни играет геометрия.
Наша школьная, элементарная геометрия изучает лишь простейшие из геометрических фигур. Но существуют и другие геометрические науки, изучающие более сложные линии и поверхности.
Истоки геометрии, как и других наук, лежат в практической деятельности людей. Само слово «геометрия» — греческое, в переводе означает «землемерие».
Люди очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные участки. Уже за 3—4 тыс. лет до н. э. каждый клочок плодородной земли в долинах Нила, Тигра и Евфрата имел значение для жизни людей. После разлива рек, особенно Нила, приходилось вновь делить землю. Это требовало определенного запаса геометрических и арифметических знаний.
Но вот урожай собран. Как в то время отмеривали зерно? Первоначально это делали так, как поступаем и мы при измерении воды или керосина, т. е. мерили его по объему. Выбирали в качестве единицы измерения сосуд определенной вместимости и считали, сколько содержится таких сосудов в куче зерна. Этот первый способ определения объема приводил к вопросу о соотношении между объемами разных тел.
Постепенно люди начали измерять более сложные геометрические фигуры и изучать их свойства.
По дошедшим до нас египетским папирусам и древневавилонским текстам видно, что уже за 2 тыс. лет до н. э. люди умели определять площади треугольников, прямоугольников, трапеций, приближенно вычислять площадь круга. Они знали также формулы для определения объемов куба, цилиндра, конуса, пирамиды и усеченной пирамиды. Сведения по геометрии вскоре стали необходимы не только при измерении земли. Развитие архитектуры, а несколько позднее и астрономии предъявило геометрии новые требования. И в Египте, и в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строительство которых могло производиться только на основе предварительных расчетов. В VI в. до н. э. в одном из древнегреческих государств на острове Самос был построен водопровод, по которому вода в город поступала из источника, лежащего за горой Кастро. Водопровод проходил через туннель длиной в 1 км. Замечательно, что туннель этот начали рыть с обеих сторон одновременно и оба участка его почти точно сошлись под землей! Это значит, что предварительно было определено направление туннеля, т. е. решена задача вычислительной геометрии, которая и сейчас считается в инженерном деле отнюдь не простой. При этом строители древно-
293