Форму разнообразных геометрических фигур имеют все архитектурные и строительные конструкции.

1. Радиомачта, каждая секция которой представля­ет собой однополостный гиперболоид.

2. Мост с параболической (слева) и эллиптической арками.

3. Газгольдеры шарообразной формы.

4. Заводские трубы — усеченные конусы.

5. Поезд делает поворот по переходной кривой:

а) схема переходной кривой,

б) переходная кривая — спираль Корню,

в) переходная кривая — лемниската Бернулли,

г) переходная кривая — кубическая парабола.

Полуправильные выпуклые многогранники. Их гра­ни — правильные многоугольники разных наимено­ваний, а все многогранные углы равны между собой.

Всего существует тринадцать вполне определенных полуправильных многогранников (они были извест­ны Архимеду, поэтому их также называют телами Архимеда) и еще две бесконечные серии так на­зываемых призм и антипризм Архимеда.

На рисунке изображены все тринадцать типов полуправильных многогранников: 1) усеченный тетраэдр (грани — правильные треугольники и шес­тиугольники), 2) кубооктаэдр (грани — правильные треугольники и квадраты), 3) усеченный октаэдр (грани — квадраты и правильные шестиугольники), 4) усеченный куб (грани — правильные треуголь­ники и восьмиугольники), 5) икосододекаэдр (гра­ни — правильные треугольники и пятиугольники),  6) усеченный икосаэдр (грани — правильные пяти­угольники и шестиугольники) 7) ромбокубоэктаэдр (грани — правильные треугольники и квадраты), 8) плосконосый куб (грани — правильные тре­угольники и квадраты), 9) усеченный додекаэдр (гра­ни — правильные треугольники и десятиугольники), 10) ромбоикосододекаэдр (грани — правильные тре­угольники, пятиугольники и квадраты), 11) усечен­ный кубооктаэдр (грани — квадраты, правильные шестиугольники и восьмиугольники), 12) плоско­носый додекаэдр (грани — правильные треуголь­ники и пятиугольники), 13) усеченный икосододекаэдр (грани — квадраты, правильные шестиуголь­ники и десятиугольники).

На всех чертежах показаны также правильные многогранники, из которых усечением получаются полуправильные.

Подсчитайте, сколько каких граней имеет каждое из тел Архимеда, сколько вершин, сколько ребер. Правильность этого подсчета можно проверить по формуле Эйлера, верной для всякого выпуклого многогранника

Г+В-P=2,

где Г — количество граней, В — количество вершин, Р — количество ребер.

шие волны, потом они принимают самую при­чудливую геометрическую форму, сталкиваясь между собой, обгоняя друг друга, попадая в узкие проливы или на отмели, ударяясь о стенки молов и причалов. Формы поверхности этих волн приходится изучать в физике и меха­нике, так как на основе этого изучения проек­тируются корпуса кораблей, наименее подвер­женные качке, а также наиболее прочные стен­ки волнорезов и набережных, успешно сопро­тивляющиеся ударам волн.

Во многих случаях наблюдения над явления­ми природы помогают человеку в решении его технических задач. Достаточно сказать, что на заре развития авиации наш знаменитый ученый Н. Е. Жуковский, которого В. И. Ленин назвал «отцом русской авиации», и С. А. Чап­лыгин исследовали полет птиц, чтобы сделать выводы относительно наивыгоднейшей формы крыла самолета и условий его полета.

Из всего сказанного видно, какую важную роль в нашей жизни играет геометрия.

Наша школьная, элементарная геометрия изучает лишь простейшие из геометрических фигур. Но существуют и другие геометрические науки, изучающие более сложные линии и по­верхности.

КАК ВОЗНИКЛА ГЕОМЕТРИЯ

Истоки геометрии, как и других наук, лежат в практической деятельности людей. Само слово «геометрия» — греческое, в переводе означает «землемерие».

Люди очень рано столкнулись с необходи­мостью измерять земельные участки. Уже за 3—4 тыс. лет до н. э. каждый клочок плодород­ной земли в долинах Нила, Тигра и Евфрата имел значение для жизни людей. После разлива рек, особенно Нила, приходилось вновь делить землю. Это требовало определенного запаса гео­метрических и арифметических знаний.

Но вот урожай собран. Как в то время от­меривали зерно? Первоначально это делали так, как поступаем и мы при измерении воды или керосина, т. е. мерили его по объему. Вы­бирали в качестве единицы измерения сосуд определенной вместимости и считали, сколько содержится таких сосудов в куче зерна. Этот первый способ определения объема приводил к вопросу о соотношении между объемами раз­ных тел.

Постепенно люди начали измерять более сложные геометрические фигуры и изучать их свойства.

По дошедшим до нас египетским папирусам и древневавилонским текстам видно, что уже за 2 тыс. лет до н. э. люди умели определять пло­щади треугольников, прямоугольников, тра­пеций, приближенно вычислять площадь кру­га. Они знали также формулы для определения объемов куба, цилиндра, конуса, пирамиды и усеченной пирамиды. Сведения по геометрии вскоре стали необходимы не только при измере­нии земли. Развитие архитектуры, а несколько позднее и астрономии предъявило геометрии новые требования. И в Египте, и в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строитель­ство которых могло производиться только на основе предварительных расчетов. В VI в. до н. э. в одном из древнегреческих государств на острове Самос был построен водопровод, по которому вода в город поступала из источника, лежащего за горой Кастро. Водопровод про­ходил через туннель длиной в 1 км. Замечатель­но, что туннель этот начали рыть с обеих сто­рон одновременно и оба участка его почти точно сошлись под землей! Это значит, что предвари­тельно было определено направление туннеля, т. е. решена задача вычислительной геометрии, которая и сейчас считается в инженерном деле отнюдь не простой. При этом строители древно-

293