Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

В начале нашего столетия норвежскому ма­тематику А. Туэ удалось доказать интересную теорему:

Неопределенное уравнение с целыми коэффициентами:

а0хn1хn-1у+а2хn-2у2 ...аnуn=b,

где n целое число, большее двух, имеет только конечное множество решений (в частности, мо­жет не иметь решений) в целых числах, за исклю­чением случаев, когда левая часть этого урав­нения есть степень однородного двучлена первой степени или трехчлена второй степени.

Еще более трудным является вопрос о реше­нии в целых числах неопределенных уравнений выше первой степени с тремя и более неизвестны­ми. До сих пор неизвестен общий метод решения таких уравнений. Уравнение (1) является про­стейшим из них. Древние греки и даже вавило­няне знали тождество:

(2mn)2+(m2-n2)2 =(m2+n2)2.

Пользуясь таким тождеством, нетрудно находить натуральные решения уравнения (1). Для этой цели нужно в формулах

переменным m и n давать натуральные значения с условием, что m>n. При помощи простых сооб­ражений доказывается, что из формул (17) можно получить все решения уравнения (1) в нату­ральных и взаимно простых числах, если па­раметрам m и n давать натуральные, взаимно простые и разной четности значения с услови­ем m>n.

Занимаясь неопределенными уравнениями, известный французский математик П. Ферма высказал в середине XVII в. предположение, что для любого натурального числа n, боль­шего 2, уравнение

хn+уn=zn

не имеет решений в натуральных числах. До­казательство этого утверждения для n=3 и n=4 было найдено Л, Эйлером.

В дальнейшем предпринимались многочислен­ные попытки доказать это утверждение (так

называемую великую теорему Ферма) полностью, но они не имели успеха1. Однако такие попытки не были безрезультатными — они содействовали возникновению и развитию нового отдела ма­тематики — алгебраической теории чисел.

В 1770 г. шотландский математик Э. Варинг высказал предположение, что для всякого натурального k, не равного 1, существует такое натуральное число r, что при любом натураль­ном /V, уравнение

хk1k2...+ xkr=N (18)

разрешимо в целых числах. Доказательство част­ного случая этого утверждения принадлежит Ж. Лагранжу. Он установил, что всякое число можно представить в виде суммы четырех квад­ратов целых неотрицательных чисел, например:

23= 32+32+22+12, 26=42+32+12+02.

Полностью эту теорему удалось доказать в 1909 г. немецкому математику Д. Гильберту. Но ему не удалось дать оценку минимального чис­ла r, для которого уравнение (18) разрешимо в целых неотрицательных числах. Значительный успех в определении g(k) (так обозначают наи­меньшее r, для которого при любом натураль­ном N уравнение (18) разрешимо в целых неот­рицательных числах) стал возможен только после создания советским математиком И. М. Ви­ноградовым особого метода для решения этой и сходных с ней задач.

Сравнительно недавно стали изучаться по­казательные неопределенные уравнения. К этой области принадлежит интересная теорема со­ветского математика А. О. Гельфонда:

Уравнение ах+bу=cz, где а, b и с целые, каждое из которых не равно ни нулю, ни степени двойки, может иметь не более чем конечное число решений в целых числах х, у и z.

Наиболее трудными являются неопределен­ные уравнения, связанные каким-либо способом с простыми числами. Но и в этой области за по­следние годы наметился успех. Мы не будем останавливаться здесь на этой сложной и увле­кательной проблеме.

1 В настоящее время теорема доказана для всех nЈ10 000.

ФИГУРЫ И ТЕЛА

ГЕОМЕТРИЯ ВОКРУГ НАС

Кое-кто, возможно, считает, что различ­ные замысловатые линии и поверхности мож­но встретить только в книгах ученых-матема­тиков.

Однако стоит внимательно осмотреться, и мы сразу обнаружим вокруг нас всевозможные гео­метрические фигуры. Оказывается, их очень иного. Просто мы их раньше не замечали,

Вот комната. Все ее стены, пол и потолок

являются плоскостями (не будем об­ращать внимания на проемы окон и дверей), а сама комната имеет форму параллеле­пипеда.

Посмотрим на паркетный пол. Планки пар­кета — прямоугольники или квад­раты. Пройдем в ванную комнату. Плитки пола там часто бывают правильными шести­угольниками или восьмиугольниками, между которыми уложены неболь­шие квадратики.

287