Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

 

вестное x1. Поэтому естественно неизвестное x1 сделать свободным, а неизвестное х3— зави­симым.

Исключая из уравнений (15) неизвестные x2 и x3, найдем:

x2=(1/11)(1000+14x1- 4x4 +3x5),

x3=(1/11)(7000-23x1+5x4- x5), f=(1/11)(8000+2x1+x4+2x5).

Легко видеть, что наименьшее значение f получим, если свободным неизвестным х1, x4 и x5 дадим нулевые значения. При этом для зави­симых неизвестных получим положительные значения:

х2=1000/11,x3=7000/11.

Следовательно, решение

х1=0; x2=1000/11=90,9...;

х3 =7000/11=636,3 ...; x4=0; х5=0

системы (15) удовлетворяет условию минималь­ности. Но нам требуется найти целочисленное решение в неотрицательных числах, удовлет­воряющее условию минимальности. Из приведен­ных рассуждений следует, что для такого ре­шения fі8000/11=727,2... или даже fі728,

так как число должно быть целым. Можно ожидать, что искомое решение мы получим, если немного изменим значение неизвестных. Поло­жим, например, х1=0, х2=91, х3=637. Тогда:

f=x1+x2+x3 =728,

5•0+91+3•637=2002>2000,

2•0+5•91+4 •637=3003>3000.

А это убеждает нас, что целочисленное реше­ние с условием минимальности найдено. Итак, со склада достаточно взять лишь 728 листов фанеры и 91 из них кроить по второму, а осталь­ные по третьему способу.

Решенная нами задача о раскрое фанеры относится к числу задач, составляющих пред­мет теории линейного програм­мирования. В этой теории рассматривают задачи следующего типа: из всех решений в не­отрицательных числах некоторой системы уравнений первой степени найти решение, удовлет­воряющее условию минимальности. Иногда, как в задаче о раскрое фанеры, выдвигают дополнительное требование, чтобы значения неизвестных были целыми числами.

Жозеф Луи Лагранж.

Весьма многие проблемы экономики страны, в частности вопросы планирования производ­ства и перевозок, приводят к этим задачам.

Целые решения неопределенных уравнений степени выше первой

Решение в целых числах неопределенных уравнений степени выше первой с целыми коэф­фициентами — во многих случаях задача более сложная, чем решение в целых числах неопре­деленных уравнений первой степени.

Индийские математики (V—XII вв.) нашли решение в целых числах некоторых уравнений второй степени с двумя неизвестными. Полно­стью задачу нахождения в целых числах неопреде­ленных уравнений второй степени с двумя неиз­вестными решил в 1766 г. французский матема­тик Ж. Лагранж.

Уравнения третьей степени с двумя неизвест­ными до сих пор до конца не исследованы. С некоторыми типами таких уравнений удалось справиться советскому математику Б. Н. Дело­не. Нужно сказать, что даже установить число решений таких уравнений третьей и более вы­соких степеней исключительно трудно.

285