В целых числах такую систему можно решить сходным способом. Сначала рассматривают одно из уравнений системы и решают его в целых числах. Найденные выражения для неизвестных этого уравнения через некоторые вспомогатель­ные целочисленные неизвестные подставляют во второе уравнение. Решив в целых числах полу­ченное уравнение с новыми неизвестными, мож­но найти все решения в целых числах и данной системы уравнений.

 

 

 

Детская энциклопедия. Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Страница 284.

Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Решение задачи о раскрое фанеры

Теперь приступим к решению системы урав­нений (3). Мы имеем три уравнения с пятью неизвестными. Поэтому два неизвестных будут свободными, а остальные три — зависимыми. Конечно, в качестве зависимых неизвестных нужно брать те, у которых абсолютная величи­на коэффициентов минимальна.

Поэтому выберем в качестве свободных не­известных х1 и х2 и выразим x3, х4, х5 через x1 и x2. Для этого значение х3=800-х1-x2 подставим в первые два уравнения, получим:

x3 =800-х12, х4=400+2х1-2х2, х5=200-2x1+х2.

Теперь, давая x1 и x2 целые значения, по­лучим всевозможные решения системы (3) в целых числах.

Исследуйте самостоятельно, какие целые неотрицательные значения следует давать х1 и х2, чтобы х3, х4 и х5 также были неотрицатель­ными.

Ниже приведена таблица некоторых решений системы (3).

Из таблицы видно, что листов фанеры до­статочно и что самый выгодный способ раскроя будет при x1=0, x2=100, х3=700. В этом случае

образуются «лишние» заготовки еще для 100 изделий. В других случаях «лишние» заготовки будут некомплектными. Но нужно ли раскраи­вать все 800 листов? Ведь нужны заготовки для 1000 изделий, а не для 1100.

Поэтому практический интерес представляет следующий дополнительный вопрос к этой зада­че: какое наименьшее число / листов фанеры следует взять со склада и какими из указанных способов следует кроить взятые листы, чтобы выполнить заказ? Для ответа на этот вопрос из всех решений в целых неотрицательных чис­лах системы уравнений

для которого f=x1+x2+x3 принимает наимень­шее значение, или, как мы будем говорить даль­ше, удовлетворяет условию минимальности.

Чтобы облегчить поиски, откажемся вре­менно от требования, чтобы значения неизвест­ных были целыми. Попытаемся решить нашу задачу удачным выбором свободных неизвест­ных. Удобнее всего такими выбрать x4, х5 и какое-нибудь из неизвестных x1, x2, x3. По­этому, исключая из уравнений (15) сначала, например, x1, а затем x2 и опуская промежуточ­ные выкладки, будем иметь:

При данном значении х3 наименьшее значение f мы получим, если неизвестным x4 и х5 дадим нулевое значение (это и понятно, ведь x4 и x5 — количество «лишних» заготовок!). Пусть x4=x5=0. Легко видеть, что при воз­растании значений неизвестного х3 значение f будет убывать. Но рост х3 сдерживается требо­ванием, чтобы значения неизвестных х1 и x2

были неотрицательными. Так как 7000/11<11000/44 ,

то из равенств [см. (16) при x4=x5=0]:

видно, что при возрастании х3 отрицательные значения прежде всего будет принимать неиз-

284