Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

 

 

 

Найдем несколько решений этого уравнения:

Уравнение (2) имеет бесконечное множество решений, но мы сможем воспользоваться толь­ко некоторыми. Это зависит от числа гирь в нашем распоряжении, да и размеров чаш.

Мы рассмотрели два уравнения первой сте­пени. Каждое из них, как удалось установить, имеет целочисленные решения. Однако на-

Задача о взвешивании решена!

ряду с ними можно указать уравнения, которые решений в целых числах не имеют. Таково, например, уравнение

Зх-6у=5. (11)

В самом деле, допустив, что при некоторых целых х и у равенство (11) верно, мы получим, что 5 делится на 3.

Какие неопределенные уравнения разреши­мы в целых числах?

Можно ли для всякого разрешимого в це­лых числах неопределенного уравнения первой степени найти его решение методом рассеивания?

На первый вопрос отвечает теорема:

Уравнение с целыми коэффициентами а1,

а2, ...,аn, b:

а1х1 + а2x2+...+аnxn=b (12)

разрешимо в целых числах только в том случае, если свободный член b делится на наибольший общий делитель чисел а1, а2, ..., аn.

Ответим на другой вопрос: всегда ли пред­ложенный метод решения в целых числах неопределенных уравнений первой степени приво­дит к цели?

Если а1— наименьший по абсолютной вели­чине коэффициент при неизвестном в уравнении (12), то мы заменяем это уравнение другим, в котором все коэффициенты, кроме коэффициента a1, заменены остатками от деления этих чи­сел на а1. Если хотя бы один из коэффициен­тов а2, а3, ..., аn не делится на а1, то полу­чим уравнение, коэффициенты которого по аб­солютной величине меньше, чем у данного. С этим уравнением поступаем так же, как сдан­ным. Если все числа а2, а3, ..., аn делятся на a1 а b не делится, то данное уравнение нераз­решимо. Если все числа a2, а3, ..., аn и b делят­ся на а1, то, деля обе части уравнения на а1, получим уравнение, целые решения которого находятся без труда.

Из этого рассуждения следует, что описан­ный метод позволяет найти целые решения вся­кого разрешимого в целых числах неопределен­ного уравнения с целыми коэффициентами.

Неопределенные системы уравнений первой степени

При решении в рациональных числах нео­пределенных систем уравнений первой степени с рациональными коэффициентами обычно поль­зуются методом последовательного исключения неизвестных. Решим, например, в рациональ­ных числах такую систему уравнений:

Из первого уравнения находим:

Подставляя значение неизвестного х во второе уравнение, получим:

Давая в уравнении (14) неизвестному z ка­кое-нибудь рациональное значение, т. е. при­нимая неизвестное z за свободное неизвестное, а за зависимые неизвестные х и у, мы, пользуясь равенствами (14) и (13), смо­жем найти все решения в рациональных числах данной системы уравнений.

283