Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

 

 

 

Будем решать задачу методом рассеивания.

нимает целые значения. Поэтому чем меньше наименьшая из абсолютных величин коэф­фициентов при неизвестных, тем уравнение предпочтительнее. В уравнении (4) наименьшая из абсолютных величин коэффициентов при не­известных равна 13, а в уравнении (7) равна 3. Как удалось достичь этого? Коэффициент при неизвестном х и свободный член уравнения бы­ли заменены остатками от деления этих чисел на 13. Но остаток от деления целого числа на на­туральное число всегда меньше этого натураль­ного числа. Понятно, почему с самого начала неизвестное у было выражено через неизвестное х: мы выбрали неизвестное с наименьшим по абсолютной величине коэффициентом. Теперь ясно, как поступать с уравнением (7).

При каких целых значениях неизвестного y1 неизвестное х принимает целые значения?

Из равенства:

x=(4+13y1)/3=1+4y1+(1+y1)/3 (8)

находим, что неизвестное х при целых значениях неизвестного у1 только в том случае принимает

целые значения, если (1+y1)/3 есть целое число.

Обозначая через х1 это выражение, получим 1+y1=3x1, или

3x1-y1=1. (9)

Таким образом, задача сведена к решению в целых числах уравнения (9). Но решить в целых числах уравнение (9) — значит узнать, при каких целых значениях неизвестного x1 неизвестное y1 принимает целые значения. Но y1 = 3x1-1, поэтому у1 принимает целые зна­чения при любых целых значениях неизвест­ного X]. Из равенств (8) и (6) последовательно найдем выражения для неизвестных x и y.

х=1+4(3x1-1)+ х1 =13х1-3, у=2(13x1-3)-1+3х1-1=29x1-8.

Из приведенных рассуждений следует, что формулы:

при x1=0,±:1,±2,±3,... дают все целые реше­ния уравнения (4).

Аналогично решается уравнение с тремя и более неизвестными. Показанный на примере метод решения неопределенных уравнений в целых числах несущественно отличается от ме­тода, предложенного индийцами. В связи с тем что при решении неопределенного уравнения по этому методу оно сводится к цепи уравнений с уменьшающимися коэффициентами, индийские математики назвали этот метод методом рассеивания.

 

Решение задачи о взвешивании

Итак, нам нужно решить в целых числах уравнение (2). Определяем неизвестное х:

x=(28-5y)/3=9-y +(1-2y)/3 Верно и такое равенство:

х=9-2у+(1+y)/3.

Им-то мы и воспользуемся. Ведь наша цель — уменьшить коэффициент при неизвестном. Вве­дем обозначение: x1=(1+y)/3. Задача сведена к ре­шению в целых числах уравнения 3x1-y=1. Решая это уравнение, получим y=3х1-1, где х1 — любое целое число. А тогда

х=9-2•(3x1-1)+x1= 11-5х1. Таким образом, общее решение уравнения (2) можно записать так:

282