Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Задача о раскрое фанеры — одна из задач бурно развивающейся в настоящее время математиче­ской теории, которая называется линейным про­граммированием.

 

 

 

 

 

 

 

 

Если во всем искать математику, то можно построить интересную полез­ную математическую теорию, рассматривая, например, затейливые узоры на древнегреческой вазе или прихотливо повторяющиеся рисунки мозаик и паркета в старинных дворцах. Простейшая математическая теория ряда мозаик получится, если на плоскости рассматривать .мозаики, состо­ящие из правильных многоугольников. Чтобы особо подчеркнуть важ­ность того, что мозаики получаются повторением рисунка, введем сле­дующее определение. Назовем преобразованием рисунка всякое его перемещение, которое надо совершить, чтобы совместить его с другим таким же рисунком. Оказывается, что для таких преобразований суще­ствует очень простая и красивая алгебра и такие преобразования обра­зуют группу (более подробно о такой алгебре и теории групп см. в статье «Чем занимается алгебра?»).

Эти преобразования можем подразделить на несколько видов: парал­лельный перенос рисунка, поворот его на какой-то угол и зеркальное отражение. При этом оказывается, что на плоскости для любых мозаик из правильных многоугольников может быть только 17 различных групп таких преобразований. Этот замечательный факт установил в 1891 г. зна­менитый русский кристаллограф Б. С. Федоров.

Изучение мозаик дает богатую пищу не только для математических исследований, но и для воображения художника. На прилагаемом ри­сунке можно видеть как «портреты» некоторых абстрактных групп, так и мозаики другого типа. Эти остроумные рисунки сделал датский худож­ник Мориц К. Ешер. Первое впечатление, что утки летят, а всадники скачут только слева направо. Но тут же глаз замечает, что такая же процессия с занимательной точностью движется в противоположном на­правлении. Художник предлагает каждому попробовать свои силы в составлении таких мозаик. Однако он предупреждает, что такая работа требует усидчивости! Интересно отметить, что для таких произвольных мозаик теория групп уже не является таким же удобным и плодотвор­ным математически» аппаратом, как для правильных мозаик. Но здесь начинается применение другой любопытной математической теории, именно теории о покрытии плоскости без пропусков и наложений фигу­рами сложных очертаний. И эта математическая теория даёт много инте­ресных и полезных сведений всякому, кто познакомится с ней поближе.

 

 

 

нении в целых числах впервые начали зани­маться ученые Индии. Они предложили об­щий метод для решения в целых числах неоп­ределенных уравнений первой степени с целыми коэффициентами, а также нашли решение в це­лых числах некоторых неопределенных урав­нений второй степени с двумя неизвестными.

Рациональные и целые решения неопре­деленных уравнений первой степени.

Метод рассеивания

Решить неопределенные уравнения первой степени с целыми или дробными коэффициен­тами в рациональных числах нетрудно. Возьмем, например, уравнение

29х-13y=17. (4)

Чтобы найти все решения этого уравнения, узнаем, при каких рациональных значениях одного неизвестного соответствующее значение второго неизвестного рационально. Каждому значению неизвестного х соответствует един­ственное значение неизвестного у, определяе­мое из формулы:

29х -17/13. (5)

Если значение неизвестного х рационально, то и значение неизвестного у, получаемое из формулы (5), рационально.

В формуле (5) роли неизвестных х и у раз­личны. Неизвестному х мы даем произвольное значение, а значение неизвестного у находится в зависимости от выбранного значения неизвест­ного х. В соответствии с этим называют неиз­вестное х свободным, а неизвестное у зависимым. Уравнение (4) можно разре­шить не только относительно неизвестного у, но и относительно неизвестного х. В таком слу­чае неизвестное у станет свободным, а неизвест­ное х зависимым.

Для отыскания целых решений уравнения (4) мы не можем непосредственно воспользо­ваться формулой (5), так как при целых зна­чениях одного неизвестного второе неизвестное не обязательно принимает целые значения. Чтобы найти все целые решения уравнения (4), найдем такие целые значения неизвестного x, для которых соответствующее значение неизвест­ного у является целым числом.

Это незначительное на первый взгляд из­менение постановки задачи открывает путь для ее решения.

Замечая, что

29/13 =2+3/13, а 17/13=1+4/13,

и пользуясь формулой (5), получим:

у =2х-1+(3x-4)/13. (6)

Мы должны узнать, при каких целых зна­чениях неизвестного х неизвестное у принимает целые значения. Так как при целом х число 2х-1 является целым, то из формулы (6) сле­дует, что неизвестное у при целом х только в том случае принимает целое значение, если выражение (3x-4)/13 есть целое число.

Наша задача еще не решена, но мы приблизились к цели.

В самом деле, полагая (3x-4)/13= у1, замеча­ем, что вопрос, при каких целых значениях неизвестного х неизвестное у принимает целые значения, равносилен вопросу о целых реше­ниях уравнения

Зx-13y1=4. (7)

Таким образом, решение в целых числах уравнения (4) удалось свести к решению в це­лых числах уравнения (7). Чем же второе уравнение предпочтительнее первого?

Самым простым из неопределенных урав­нений первой степени естественно считать такое, у которого хотя бы один из коэффициентов при неизвестных равен 1 или -1. В этом случае неизвестное с таким коэффициентом при любых целых значениях остальных неизвестных при-

281