Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

 

 

 

в неотрицательных целых числах. Можно ре­шить одно уравнение (2) в целых числах, но при этом нужно иметь в виду, что значения неизвест­ных х и y указывают не только на число исполь­зованных гирь, но и на их место на чашах ве­сов. Так, если значение неизвестного х положительно, то число гирь весом в 3 Г равно х и все они находятся на левой чаше весов; если зна­чение неизвестного х отрицательно, то число гирь весом в 3 Г равно |х| и все они находятся на правой чаше весов.

Сколько нужно взять гирь?

Раскрой фанеры

В деревообделочный цех одного завода по­ступил заказ вырезать из фанеры заготовки двух видов для 1000 изделий. Известно, что на одно изделие идет две заготовки первого вида и три второго. На складе имеется 800 ли­стов фанеры одного образца. Были предложены три способа раскроя этих листов. При первом способе из листа фанеры получается пять заготовок первого вида и две второго, при втором — одна заготовка первого вида и пять второго и, наконец, при третьем — три заготовки первого вида и четыре второго.

Достаточно ли для выполнения заказа ли­стов фанеры, имеющихся на складе? Сколько листов фанеры нужно кроить по первому, сколь­ко по второму и по третьему способам, чтобы вы­полнить этот заказ?

Обозначим буквами х1, х2, х3 соответственно число листов фанеры, раскроенных по первому, второму и третьему способам. Тогда 5x1+x2+3х3 — количество полученных заготовок пер­вого вида и 1+2+4x3 — количество по­лученных заготовок второго вида. Так как для выполнения заказа требуется не менее чем 2000

заготовок первого и 3000 заготовок второго вида, то должны выполняться неравенства:

5х12+3х3 і 2000,

2х1+5х2+4x3і3000.

Чтобы заменить неравенства строгими ра­венствами, обозначим через x4 количество за­готовок первого вида, которые придется изго­товить сверх 2000, а через х5 — количество «лишних» заготовок второго вида. Тогда, учи­тывая, что х1+x2+x3=800, получим следую­щую систему уравнений:

Конечно, x4 и x5, так же как и x1, x2, х3, должны быть целыми неотрицательными чис­лами.

Каждому варианту (х1, х2, х3) распределе­ния 800 листов фанеры по способам раскроя соответствует решение (х1, x2, x3, x4, х5) систе­мы уравнений (3) в целых неотрицательных чис­лах. Наоборот, каждому решению 1, х2, х3, x4, x5) системы (3) в целых неотрицательных числах соответствует определенный вариант распределения 800 листов фанеры по способам раскроя. Поэтому задача о раскрое фанеры при­водит к отысканию решений системы (3) в це­лых неотрицательных числах.

Неопределенные уравнения

Каждая из рассмотренных задач сводится, как мы убедились, к решению в целых числах некоторых уравнений или систем уравнений. При этом число неизвестных всякий раз превосходи­ло число уравнений. Такие уравнения и систе­мы называют неопределенными. При решении неопределенных уравнений или систем уравнений обычно ищут значения неизвестных, удовлетворяющие тем или иным арифметиче­ским условиям. Например, их решают в целых или рациональных числах.

Еще александрийский математик Диофант (III в. н.э.) занимался решением алгебраических уравнений в рациональных (вообще говоря, дроб­ных) числах. Решением неопределенных урав-

280