Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

 

 

 

Построение прямого угла на местности.

таких долей. Узлы М и N свяжем вместе и обо­значим вновь полученный узел через А.

С помощью колышков натянем часть шнура ВС вдоль данной прямой так, чтобы точка С совпала с точкой, через которую должен быть проведен перпендикуляр к данной прямой. Потом оттянем шнур за узел А так, чтобы уча­стки АВ и АС стали прямолинейными, и вобьем в точке, где будет находиться узел А, колышек. Задача построения на местности прямого угла решена, так как угол АСВ прямой.

Чтобы убедиться в этом, докажем, что пря­моугольным будет всякий треугольник, стороны которого, измеренные какой-нибудь единицей измерения, выражаются числами 3, 4 и 5. Для доказательства возьмем прямоугольный тре­угольник с катетами, равными двум меньшим сторонам данного треугольника, и найдем его гипотенузу х. По теореме Пифагора x2=32+42. Поэтому х=5. Таким образом, три стороны дан­ного треугольника соответственно равны трем сторонам прямоугольного треугольника. А от­сюда следует, что и данный треугольник — пря­моугольный.

Доказанное свойство треугольника со сто­ронами 3,'4 и 5 было, по-видимому, известно еще древнеегипетским землемерам. Поэтому такой треугольник называют египетским. Вся-

кий целочисленный треугольник1, подобный египетскому, также является прямоугольным.

Существуют ли другие целочисленные пря­моугольные треугольники.

Если катеты и гипотенузу какого-нибудь целочисленного прямоугольного треугольника обозначить буквами х, у и z, то по теореме Пифагора получим:

z2+y2 = z2. (1)

Оказывается, что верно и обратное, т. е. если х, у и z — натуральные числа, удовлет­воряющие уравнению (1), то треугольник со сторонами х, у и z — прямоугольный.

Целочисленный прямоугольный треуголь­ник для краткости иногда называют пифаго­ровым.

Наше рассуждение показывает, что задача отыскания всех пифагоровых треугольников сводится к решению уравнения (1) в натураль­ных числах.

Рассмотрим несколько других задач.

Взвешивание груза на чашечных весах

Можно ли 28 Г некоторого вещества отвесить на чашечных весах, имея гири весом только в 3 и 5 Г?

Оказывается, это можно сделать, даже не­сколькими способами.

Попытаемся найти все способы взвешивания. Для этого поместим груз в 28 Г на правую чашу весов и уравновесим его гирями весом в 3 и 5 Г. Возможны такие случаи: а) все гири находятся на левой чаше весов; б) гири по 3 Г находятся на левой чаше весов, а гири по 5 Г вместе с грузом находятся на правой чаше весов; в) гири по 5 Г находятся на левой чаше весов, а гири по 3 Г вместе с грузом находятся на правой чаше весов.

Если через х обозначить число использован­ных гирь весом в 3 Г, а через у — число исполь­зованных гирь весом в 5 Г, то в соответствии с отмеченными выше случаями получим:

а) Зх+5у=28, (2)

б) Зх=28+5у, или 3x-5y=28,

в) 5у=28+3x, или 5y-3x=28.

Чтобы найти все способы взвешивания, нуж­но решить каждое из полученных уравнений

1 Целочисленным называют треугольник, длины сторон которого выражаются целыми числами.

279