Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.
Смотрите информацию купить квартиру в новостройке от застройщика цены на сайте.

 

 

 

ты мебели — из 12 стульев или кресел. Сущест­вовало даже специальное название для дюжи­ны дюжин — гросс.

О широком распространении двенадцатеричной системы свидетельствуют такие факты: мы до сих пор делим год на 12 месяцев, а сутки на 24 ча­са, причем в повседневной жизни часы счита­ем только до 12, а затем начинаем счет сна­чала (час дня, два часа дня и т. д.). Число 12 часто встречается также в сказках и легендах (двенадцатиглавый змей, двенадцать братьев-разбойников), что тоже свидетельствует о древнем происхождении двенадцатеричной си­стемы счисления.

Посмотрим, как будут изображаться числа в этой системе. Во-первых, в ней должно быть двенадцать цифр. Значит, к нашим десяти циф­рам надо прибавить еще две, например А для обозначения десяти и Б — для одиннадцати. Во-вторых, запись чисел в ней будет короче, чем в нашей системе, а таблица умножения длин­нее. Число 12 запишется как 1012 (снова ставим значок 12 для того, чтобы знать, в какой системе сделана запись), число 13 — как 1112, число 35=2•12+11 — как 2Б12, а число 133 = 11•12+ +1 — как Б112, т. е. оно станет двузначным. Приведем таблицу умножения чисел, записан­ных в этой системе1:

Некоторые ученые считали, что такая систе­ма была бы удобнее, чем десятичная, так как число 12 имеет больше делителей, чем число 10. На самом же деле это обстоятельство не дает больших преимуществ.

Ниже мы расскажем о том, что когда-то суще­ствовали нумерации с основанием 20 и даже 60.

1 При записи этой таблицы мы опускаем значок 12. Но не надо забывать, что все числа записаны в две­надцатеричной системе.

А теперь сделаем некоторые общие выводы: 1) всякое число, отличное от единицы, может служить основанием позиционной системы счис­ления; 2) в системе счисления должно быть столько цифр, сколько единиц содержится в основании системы.

Несмотря на то что принципиально все по­зиционные системы счисления равноправны, в разных случаях удобнее пользоваться разными системами. Например, как мы уже говорили, при счете на электронных вычислительных машинах в основном пользуются двоичной системой.

Сейчас мы приведем несколько задач, для решения которых удобнее будет воспользовать­ся не десятичной системой счисления, а другими.

 

 

Задача на взвешивание

Вот одна из классических задач, решить которую можно сразу же, если выбрать систему счисления с подходящим основанием. Эта за­дача приведена в математической книге знамени­того математика XIII в. Леонардо Пизанского. Ею интересовался также в XVIII в. и Л. Эйлер.

Требуется выбрать 5 гирь так, чтобы с их помощью можно было взвесить любой груз до 30 кГ при условии, что гири ставятся только на одну чашу весов.

Какие же гири нужно выбрать?

Сумма веса всех гирь должна быть не меньше 30 кГ. Но, конечно, этого недостаточно. Если мы выберем, например, гири весом в 1, 2, 3, 10, и 15 кГ, то с их помощью нельзя будет взвесить грузы в 7, 8, 9, 22, 23 и 24 кГ.

Разберем математический смысл задачи. Что­бы взвесить некоторый груз, помещая гири толь­ко на одну чашу весов, надо представить его вес в виде суммы весов имеющихся гирь, при­чем так, чтобы каждая гиря бралась не более одного раза. Если выбранные нами гири имеют вес p1, р2, р3, р4, р5, то груз весом QЈ30 кГ должен представляться так:

Q=a1p1+ а2p2+ а3р3 + а4p4 +a5p5,

где каждый коэффициент равен единице, если кладем соответствующую гирю на чашу ве­сов, и нулю, если не пользуемся ею при взве­шивании.

При такой постановке вопроса видно сход­ство с представлением числа Q в двоичной сис­теме счисления. Нужно только в качестве p1, p2. p3, p4, p5 взять гири весом: р1=1 кГ, р2=2 кГ, p3=4 кГ, р4=8 кГ, р5=16 кГ.

267